La matemática es una ciencia que nació para resolver problemas, propios, de otras ciencias y de la cotidianidad
del ser humano.
Después de
varios siglos de existencia, luego de haber resuelto infinidad de problemas de
todo tipo la enseñanza de la matemática se enfrentó al problema de cómo enseñar
a resolver problemas. Así surgió la resolución
de problemas como rama de la pedagogía
de las ciencias matemáticas a la que le prestaron interés muchos matemáticos.
Halmos (1
980)[1], sugirió que
resolver problemas es el corazón de las matemáticas.
¿Qué es un
problema matemático?
Para Míguez (2003)[2], “un
problema matemático es una situación real o ficticia que reta la comprensión
conceptual, y no solamente los conocimientos de un tema tratado en la actividad
de aprendizaje de matemática; exige una reestructuración en la manera de
abordar la situación planteada y de los límites de los procedimientos
conocidos, y busca generar conexiones sobre conocimientos variados. Un
problema no tiene condición temporal, se puede resolver rápidamente, o no
conseguírsele nunca su solución”.
Para Serres (2000)[3], “un problema es una situación donde se plantea una
interrogante, una duda o se observa una realidad de la cual no se tiene explicación
y la información que se maneja no permite responder o explicar la realidad
inmediatamente”.
Para Callejo (1994)[4], “un problema es una
situación que plantea una cuestión matemática cuyo método de solución no es
inmediatamente accesible al sujeto que intenta responderla porque no dispone de
un algoritmo que relacione los datos y la incógnita o los datos y la
conclusión, y debe, por tanto, buscar, investigar, establecer relaciones,
implicar sus afectos, etc., para hacer frente a una situación nueva”.
Para Alonso (2 001)[5], los elementos esenciales
de la definición de un problema son: “a) la existencia de una dificultad que no
tiene solución inmediata; b) la ausencia de un camino conocido que lleve a la
solución; c) la presencia de un interés por resolver la dificultad; d) la demanda
de una intensa actividad cognoscitiva por parte del resolutor; e)el carácter objetivo
del problema, en tanto es una situación presente en el objeto, y el carácter subjetivo,
pues para que exista el problema la situación debe generar una necesidad en el
sujeto y f) el carácter relativo de los problemas, ya que lo que constituye un
problema para un individuo no tiene por qué serlo para otro, sino que está en
dependencia de los conocimientos que posea cada uno de ellos”.
Para Campistrous y Rizo (2 002)[6], “se denomina problema a
toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que
obliga a transformarlo. La vía para pasar de la situación o planteamiento
inicial a la nueva situación exigida tiene que ser desconocida, y la persona
debe querer hacer la transformación”.
Hoy día se podrán conseguir mil definiciones más, todas con una cuota de
razón en su caracterización de un praxema que definitivamente está presente en
toda buena clase de matemática en cualquier aula del orbe.
La preocupación de cómo enseñar a resolver problemas matemáticos pronto
se convirtió en la inspiración de Matemáticos y Educadores Matemáticos, Gérard
Vergnaud, Cipriano Cruz, Pierre Marie Van Hiele, Luis Santaló, Karl Rohn, OscarBarrientos,
Claudia L. Parra B., Claude Gaulin , George Pólya, Miguel de Guzmán y Alan Schoenfeld; también infinidad de
Centros de Estudios y Organizaciones Profesionales como la National Council of Teachers of Mathematics,
la Asociación Venezolana de Educación Matemática, el Instituto Superior Pedagógico
de Gustrow, la Universidad Real de Utrecht, el Instituto Superior Pedagógico Enrique
José Varona de la Habana, la Université Joseph-Fourier, Grenoble, la Universidad
de Laval, Quebec, el Instituto de Investigación en Enseñanza de las Matemáticas
(IREM) de Strasbourg, Francia. Se abocaron a estudiar metodologías para
resolver problemas y para enseñar a resolverlos.
¿Cómo plantear y
resolver Problemas?
En 1944 un libro marcó un hito sobre este tema cómo plantear y resolver problemas y su
autor, George Pólya, pasó a inspirar a miles de profesores durante décadas con
su metodología para matemáticos.
|
fig. 1 libro de George Pólya
Pólya planteo una metodología basada en el desarrollo de cuatro etapas
para la resolución de un problema matemático:
1. COMPRENDER
EL PROBLEMA[7]. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos
escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a
resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea
más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático:
entender cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes
lenguajes que hablan el demandante y el informático.
Se debe leer el enunciado despacio.
· ¿Cuáles son los datos? (lo
que conocemos)
· ¿Cuáles son las incógnitas?
(lo que buscamos)
· Hay que tratar de encontrar
la relación entre los datos y las incógnitas.
· Si se puede, se debe hacer
un esquema o dibujo de la situación.
2. TRAZAR
UN PLAN PARA RESOLVERLO. Hay que plantearlo de una manera flexible y
recursiva, alejada del mecanicismo.
· ¿Este problema es parecido a otros que ya
conocemos?
· ¿Se puede plantear el problema de otra forma?
· Imaginar un problema parecido pero más sencillo.
· Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se
relaciona la situación de llegada con la de partida?
· ¿Se utilizan todos los datos
cuando se hace el plan?
3. PONER
EN PRÁCTICA EL PLAN. Se debe tener en cuenta que
el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y
su puesta en práctica.
· Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los
pasos.
· ¿Se puede ver claramente que
cada paso es correcto?
· Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?
· Se debe acompañar cada operación matemática de una
explicación contando lo que se hace y
para qué se hace.
· Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja
bloqueados, se debe volver al
principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.
4. COMPROBAR LOS RESULTADOS. Es la más
importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del
resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su
contraste con la realidad que queríamos resolver.
· Leer de nuevo el enunciado y
comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.
· Debemos fijarnos en la
solución. ¿Parece lógicamente posible?
· ¿Se puede comprobar la
solución?
· ¿Hay algún otro modo de
resolver el problema?
· ¿Se puede hallar alguna otra
solución?
· Se debe acompañar la
solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado.
· Se debe utilizar el
resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos
problemas.
Ejemplos de György Pólya:
·
Determinar la diagonal
de un paralelepípedo rectangular dada su longitud, ancho y altura.
¿Qué significa comprender este problema?
a) Saber cuál es su incógnita
b) Poder identificar los datos que suministra
c) Usar una notación adecuada respecto a lo que pide el
problema y la información que suministra
d) Determinar la condición que relaciona los datos con la
incógnita
e) Determinar si con los datos suministrados, es
suficiente para hallar el valor solicitado
f) Elaborar un esquema, gráfico o modelo del problema
fig. 2 paralelepípedo
El Plan
a) ¿Hay algún problema parecido?
b) ¿Qué datos se usan para hallar la diagonal de una
cara?
c) ¿Cómo proceder?
d) ¿Existe una similitud entre la diagonal de una cara y
la de un paralelepípedo?
e) ¿Cómo usar los datos suministrados?
Ejecutar el plan
a) Usando la longitud y el ancho puedo calcular la medida
de la diagonal de una cara
b) Usando la medida de la diagonal de la cara y la altura
puedo calcular la medida de la diagonal del paralelepípedo
Visión retrospectiva
a) ¿Qué relación hay entre la diagonal de la cara y la
diagonal del paralelepípedo?
b) Si el paralelepípedo fuera un cubo, ¿se pudiera
aplicar el mismo plan de resolución?
c) ¿Se podrá hallar la solución con un solo paso?
d) ¿Sobran datos en el planteamiento realizado?
·
Para enumerar las
páginas de un libro un tipógrafo ha empleado 2 989 dígitos. ¿cuántas
páginas tiene el libro?
¿Qué significa comprender este problema?
a)
¿Cuál es la diferencia entre número y dígito?
b)
¿Cada página es un número?
c)
¿Cuántas páginas hay cuya numeración tenga un dígito?
El Plan
a) Resuelvo el problema para un libro de 9 páginas
b) Resuelvo el problema para un libro de 99 páginas
c) Resuelvo el problema para un libro de 999 páginas
d) Cada 100 páginas ¿cuántos dígitos empleo?
e) Construyo una sucesión de números cuya suma sea
2 989
Ejecutar el plan
a) Un libro de 9 páginas usa 9 dígitos, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9
b) Un libro de 99 páginas usa 189 dígitos
páginas |
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20 |
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98 |
99 |
20 |
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189 |
c) Un libro de 199 páginas usa 489 dígitos
páginas |
N° dígitos |
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20 |
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169 |
30 |
170 |
171 |
172 |
173 |
174 |
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176 |
177 |
178 |
179 |
30 |
180 |
181 |
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30 |
190 |
191 |
192 |
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194 |
195 |
196 |
197 |
198 |
199 |
30 |
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489 |
d) Un libro de 299 páginas usa 489 + 300 dígitos, 789
dígitos
e) Un libro de 399 páginas usa 789 + 300 dígitos,
1 089 dígitos
f) Un libro de 499 páginas usa 1 089 + 300 dígitos, 1 389 dígitos
g) 2 989 – 1 389 = 1 600
h) 1 600 ÷ 300 = 5,33333…
i) Un libro de 999 páginas usa 1 389 + 1 500 dígitos, 2 889 dígitos
j) Un libro de 1 024 páginas usa 2 989 dígitos
960 |
961 |
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979 |
30 |
980 |
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989 |
30 |
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991 |
992 |
993 |
994 |
995 |
996 |
997 |
998 |
999 |
30 |
1 000 |
1 001 |
1 002 |
1 003 |
1 004 |
1 005 |
1 006 |
1 007 |
1 008 |
1 009 |
40 |
1 010 |
1 011 |
1 012 |
1 013 |
1 014 |
1 015 |
1 016 |
1 017 |
1 018 |
1 019 |
40 |
1 020 |
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1 022 |
1 023 |
1 024 |
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20 |
Visión retrospectiva
a)
¿Cómo hacerlo de
una forma más expedita?
Por lotes de
páginas
Las primeras 9 páginas 9
dígitos |
De la página 10 a la 99 ⇾ 20 dígitos x 9 ⇾ 180 dígitos |
Sub total = 189 |
De la página 100 a la 999 ⇾ 30 dígitos x 90 ⇾ 2 700 dígitos |
Sub total = 2 889 |
De la página 1 000 a la 1 019 ⇾ 40 dígitos x 2 ⇾ 80 dígitos |
Sub total = 2 969 |
De la página 1 020 a la 1 024 ⇾ 4 dígitos x 5 ⇾ 20 dígitos |
Total = 2 989 |
Ejercicios:
· 3 números forman una progresión
aritmética (a_1, a_2, a_3) y otros 3 números (b_1, b_2, b_3), una progresión
geométrica. Sumando los términos correspondientes de las dos progresiones se
obtiene: 85, 76, y 84, respectivamente, si sumamos los tres términos de la
progresión aritmética a_1,+ a_2 +
a_3 = 126. ¿Cuáles son los términos de
las dos progresiones?
· El perímetro de un triángulo
rectángulo es de 60 centímetros, la altura calculada por una perpendicular a la
hipotenusa mide 12 centímetros. ¿Cuánto miden cada uno de los lados?
Ángel Míguez Álvarez
[1] Halmos, P.
(1 980). The heart of mathematics. American Mathematical Monthly, 87 pp
519-524.
[2] Míguez, Á. (2 003)
“Caracterización de los ejemplos,
ejercicios, problemas y preguntas
usados en el aula, en los libros de texto y demás materiales escritos de
matemática en el contexto escolar venezolano”. En: Revista Educación y Pedagogía. Medellín: Universidad de Antioquia,
Facultad de Educación. Vol. XV, No. 35, (enero-abril).
[3] Serres, Y. (2 000). “Una experiencia de solución
de problemas matemáticos con estudiantes del curso introductorio de
Ingeniería”. Revista de Pedagogía.
Vol. 21, No. 60. pp. 89-103.
[4] Callejo, M. (1 994). Un club matemático para la diversidad. Madrid:
Narcea.
[5] Alonso, I (2 001). La resolución de problemas matemáticos. Una
alternativa didáctica centrada en la representación. Tesis Doctoral. Universidad
de Oriente. Santiago de Cuba. p.22
[6] Campistrous, L. y Rizo,
C. (2 002). Didáctica y solución de
problemas. Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño. OREALAC-UNESCO,
p. 2.
[7] Pólya, G.
(1 969). Cómo plantear y resolver
problemas. México: Trillas.