Compromiso

El conocimiento es uno de los pocos bienes que crece a medida que se comparte y se somete a la discusión abierta

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La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional, ni de la lógica, ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz

Guy Brousseau

¡No pedagogismos, sino inspiraciones de la vida. Las necesidades del pueblo son los fines de la educación

Cartel en la Escuela Normal Rural de Tacámbaro, México

Mejorar la Enseñanza de las matemáticas no es tarea de un profesor, sino de una Comunidad Educativa

CLAME


miércoles, 28 de octubre de 2020

Matemática Escolar para la Red

por Ángel Míguez Álvarez

 

 

Hace un par de decenas de años en el ámbito escolar, académico, la consigna entre los educadores era: “publica o perece”, hoy día muchos creen que la nueva revolución industrial basada en las tecnologías de la comunicación trajo una nueva consigna, o más bien, una variante de la anterior: “publica en la Red o perece”. Esto vino apareado a la proliferación de blogs, páginas, videos y presentaciones referidas a la Matemática Escolar en la Red.

 

Todo puede empeorar

 La decisión ahora no se basará en la inteligencia de los educadores y académicos de todo tipo, ni en sus destrezas discursivas, ni en la forma de concatenar ideas al alcance de sus estudiantes. El Sistema Educativo pareciera ya no querer más que letreros luminosos donde las grageas simplifican lo que debe repetirse en trabajos y evaluaciones, todo con base en los algoritmos.

 Mucho se ha dicho de lo malo que resultó la proliferación de “publicaciones académicas” grandilocuentes que no decían mucho, las tesis doctorales convertidas en retazos, en varias revistas de prestigio y hasta llegar a lo que era un grito ensordecedor que lanzaron Sokal y Bricmont en su puesta al desnudo de este dislate en Imposturas Intelectuales, publicado por Paidós para los lectores de habla castellana.

 En esa carrera sin fin hacia el vacío, llegaron los algoritmos de búsqueda, por eso, pareciera oír: Un espectro se cierne sobre la Educación, el espectro del algoritmo. Pero no es momento para los lamentos y las maledicencias.

 

¿Qué Hacer?

 Pues, aprender a navegar en esa Red y ponerla al servicio del estudio, del conocimiento y de la promoción de criterios académicos que permitan el avance del conocimiento por sobre los adminículos de las competencias.

 Esta reflexión me ha llevado a revisar varias páginas que se ofrecen a los estudiantes para aprender Matemáticas Escolares, llenas de lugares comunes, de conceptos repetidos y muchos “ejemplos” para copiar en los trabajos, exposiciones y carteleras escolares.

 Los más innovadores presentan “máquinas de cálculo” que simplifican la agobiante labor del estudiante buscador de “soluciones” escolares en la Red.

 

Educar a los Algoritmos

 Propongo para el debate entre nuestros colegas, los Educadores Matemáticos, una cruzada para llenar la Red de artículos que hagan la diferencia, y propongo una clasificación de páginas que enlacen a los estudiantes con el conocimiento escolar requerido:

·      ¿Qué es…?

·      Ejemplos

·      ¿Cuál es el procedimiento para…?

·      Ejercicios y Problemas

·      Para saber más

·      Retos

 Con base en mi artículo Los ejemplos, ejercicios, problemas y preguntas en las actividades de aprendizaje de matemática, Educación y Pedagogía N° 35, tendríamos tres grandes familias de artículos: conceptuales, procedimentales y experimentales; con sus variantes y características que respete la impronta de cada autor.

 No es mi intención agotar esta discusión que propongo con estas breves líneas.

 

Las páginas conceptuales

 Las que fundamentalmente abordan el tratamiento y exposición de un concepto o noción básica de la Matemática Escolar, la que respondería a la pregunta ¿Qué es…? Y contendría Ejemplos de los objetos en estudio. Número Primo, Funciones, Números Racionales, Eje de Coordenadas, Teorema de Thales… serían algunas de ellas.

 

Las páginas procedimentales

 Las que abordarían las formas de hacer los cálculos, las operaciones, las graficaciones, las que explicarían ¿Cuál es el procedimiento para…? Y propondrían los Ejercicios y Problemas para adentrarse en los cuidados conceptuales al desarrollar las destrezas de cálculo con base en el contenido que se aborde. ¿Cómo se calcula el Máximo Común Divisor?, ¿Cómo hallar la suma de…?, Multiplicación de Polinomios, Hallar dos Triángulos Semejantes…

 

Las páginas Experimentales

 En las que los docentes propondrían las preguntas retadoras, las aplicaciones, las demostraciones, las exploraciones que permitirían Saber más, las variantes a las formas tradicionales, otras maneras de ver lo mismo. Representación Gráfica del Producto…, Grafica las Raíces Complejas de una Ecuación…

 Espero se abra el debate y conquistemos este espacio con algo más que páginas repetitivas, anquilosadas que llevan a convertir el reto de saber y conocer al fatídico copiar y pegar que en el fondo es lo que promueven los vaciadores de contenidos que antes rellenaban las revistas académicas.

 

¡Espero leerlos!

viernes, 8 de mayo de 2020

Tipos de Números


Tipos de Números
Una discusión pertinente

¡Hola!

La labor de conocer el tipo de asignaciones que están usando maestras y profesores en la 40tna actual nos permite conocer aquello que nos está prohibido, saber qué pasa dentro del aula.

Quienes tenemos hijos que están o pasaron por el Sistema Escolar Venezolano tenemos pistas.

La revisión de las tareas que en la actualidad se proponen nos debería llevar a revisar esas Tareas y buscar su mejora cualitativa sobre aspectos puntuales.
Desde Falcón una Madre Docente me pregunta:

¿Cuál es el significado [presumo definición] de: número que indica cantidad número que indica clase número no informativo número con diferencia de significado?

Como desconozco las respuestas elaboré una hoja que anexo y solicito su revisión y corrección.

Saludos

Ángel Míguez Álvarez
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ARCHIVO ADJUNTO
Tipos de Números
Usados en el Sistema Escolar Venezolano

La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los Números Naturales y los Números Enteros, mientras que las operaciones del Álgebra y el Cálculo permiten definir la mayor parte de los Sistemas Numéricos, entre los usados en Educación Básica están:

·       Números Naturales [usados para contar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…]
o   Números Primos [solo son divisibles entre uno y si mismos: 1, 2, 3, 5, 7, 11…]
o   Números Compuestos [descomponibles como el producto de al menos tres primos: 18 = 1 x 3 x 3 x 2]

o   Ordinales [usados para indicar el orden de una colección cualquiera. 1° primero, 2° segundo, 3° tercero,…, 11° décimo primero…]

o  Números Perfectos [es igual a la suma de sus divisores propios: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14]
§  Números defectivos [la suma de los divisores propios es menor que el número]
§  Números abundantes [la suma de los divisores propios es mayor que el número]
o  Números amigos [a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y viceversa]
§  Números sociables [como los amigos, pero con un ciclo mayor de números]

·       Números Enteros [es el conjunto que contiene a los Números Naturales, sus opuestos y el cero]
o   Cero [0]
o   Números Negativos [naturales negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7…]
o   Números Pares [divisibles entre dos, de la forma 2n con n un entero cualquiera]
o   Números Impares [no divisibles entre dos, de la forma 2n+1 con n un entero cualquiera]

·       Fracciones [números de la forma p/q, tal que q≠0 y q≠1, con p y q números enteros]
o   Números Decimales [expresión numérica en representación posicional o algebraica de las fracciones]
o   No periódicos [número finito de decimales: 1/8 = 0,125; 2/5=0,4]
o   Periódicos [número infinito de decimales que tienen algún patrón de repetición: 2/27 = 0,07407407407…; 1/3=0,3333333…]

o   Partitivos [usados para indicar una parte respecto a un todo de un objeto o colección de objetos: 1/2 mitad, 1/3 tercio, 1/4 cuarto,…, 1/8 octavo,…, 1/11 onceavo…]

·       Números Racionales [números de la forma p/q, tal que q≠0, con p y q números enteros]

·       Números Reales [es el que contiene los números que permiten enumerar todos los puntos de una recta real]
o   Números Irracionales [que no pueden expresarse de la forma p/q, con p y q números enteros o números con infinitos decimales que no tienen algún patrón de repetición]
o   Números Algebraicos [es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación algebraica de la forma: anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, n>0]
o   Números Trascendentes [es cualquier cualquier número real o complejo que no es solución de una ecuación algebraica: pi, e, 3^raíz cuadrada de 3…]

·       Números Complejos [Números de la forma a+bi, con a y b número real e i=raíz cuadrada de (-1)]
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Hola Ángel:

El 1 no es primo (ni compuesto) ya que si se considerara como tal dejaría de valer el Teorema Fundamental de la Aritmética, importantísimo resultado de la teoría de números. Si se define número primo como aquel que es divisible por el mismo y la unidad hay que sacar del lote al 1. Por ello es mejor definir número primo como aquel número que tiene exactamente dos divisores: el uno y él mismo. El menor número primo (y además el único que es par) es 2. Un número compuesto es aquel que se descompone como producto de varios primos (iguales como en 4=2x2 o distintos como en 6=3x3).

En los antiguos libros de aritmética aparecían clasificaciones de los números como: abstractos y concretos. 4 era un número abstracto, mientras que 4 sillas era un número concreto.

También se distinguía entre aquellos que tenían una unidad de medida como 5 metros de aquello en que aparecían unidades y submúltiplos: 4 metros con 3 centímetros, etc. Se utilizaba a veces la denominación de números complejos para estos últimos. El paso al sistema métrico decimal hizo prácticamente innecesario el uso de dichos números ya que 4 metros 3 centímetros lo escribimos 4,03 metros. Por eso se introdujo en el currículo el estudio de los números decimales. Pero si teníamos 3 arrobas y 5 quintales no podemos hacerlo. Igual pasa con el actual sistema inglés de medidas. Por ejemplo si tenemos 3 yardas con 2 pulgadas.

Con respecto al origen del asunto
"¿Cuál es el significado [presumo definición] de:
número que indica cantidad
número que indica clase
número no informativo".
número con diferencia de significado?"

En parte parece un absurda más de los tan frecuentes en nuestro ámbito educativo.

Comenzaré recordando que los números son la base de un sistema comunicacional y pueden considerarse como un lenguaje. Nuestro sistema de numeración parte de un "alfabeto" o sistema primitivo de diez signos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y una "gramática" dada por el sistema posicional. Así que cualquier número puede escribirse como una expresión polinómica con potencias de 10 y con coeficiente elementos de A que luego abreviamos escribiendo concatenadamente los coeficientes con valores crecientes de derecha a izquierda:

La gramática se amplía con las reglas operativas (adición con sus propiedades, multiplicación con sus propiedades, etc.).

Pero esta simbología ¿cómo la empleamos? Por un lado para representar cantidades muchas veces provenientes de la medición de una magnitud como la longitud. En este sentido también el dinero es una medida, o las notas de los alumnos, etc.

Pero hay otros usos, Ángel pone uno: indicar el orden. Esto aparece en innumerables situaciones.

Pero también sirven como meros identificadores o etiquetas. El número que se pone un deportista (un futbolista, un pelotero, etc.) no representa cantidad alguna, ni medida de nada, ni orden. Podría ponerse allí cualquier símbolo en la franela del deportista. ¿Será esto lo que quieren llamar "número no informativo"? Aunque tal número sí informa: está asociado a un deportista en particular.

Con respecto a "número que indica clase": en matemática clase se refiere a una clase de equivalencia y las clases de equivalencias se obtienen a partir de un conjunto sobre el cual se define una relación de equivalencia, lo cual da origen a una partición del conjunto en clases (de equivalencia). Por ejemplo los números naturales a través de la división por dos, de acuerdo con el resto que se obtenga se tienen dos clases: los pares (dan resto cero, los impares dan resto uno). Así podemos etiquetar los pares con un cero con una barra encima y los impares con un uno con una barra encima.

En la escritura matemática usamos subíndices y superíndices, cumpliendo los números allí una función específica.

Así pues, la pregunta que formulan está mal planteada, o cuando menos es bastante confusa.

Me voy ahora al plano didáctico: ¿qué se pretende enseñar? ¿Qué quieren que aprenda el alumno?

Los números como lenguaje aparecen por doquier: la cédula de identidad, las placas de los vehículos, los apartamentos tienen número, los salones de clase, las páginas de un libro y los capítulos en que éste se divide, y etcétera, etcétera,…

Sería bueno sabe en qué libro aparece esto, si hay algún acápite del programa en donde se indique algo sobre el asunto.

Mi querido apreciado Ángel discrepo con eso de que debemos "buscar su mejora cualitativa sobre aspectos puntuales." No son aspectos puntuales. El asunto es de fondo y bien de fondo. Nuestra educación requiere una profunda reingeniería. A todos los niveles, pública o privada, nuestra educación (y es lamentable y duele decirlo) está en terapia intensiva. Más de 10 años dictando cursos de postgrado en el IPC y en el Pedagógico de Maracay, mi reciente estadía por 1 año en la Universidad Simón Rodríguez y 25 en la UNA creo que es una muestra suficiente de lo que digo. Las instituciones formadoras de docentes no están formándolos y no es sólo en matemáticas.

La gran interrogante que tengo y por más vueltas que le doy no encuentro respuestas: ¿dónde nos extraviamos, dónde perdimos el rumbo?

Si bien nuestra educación nunca fue un dechado de virtudes por su calidad la actual está más deteriorada que cuando yo estudié. Siempre acudí a instituciones públicas, hice mis primeros 4 grados en un pueblo perdido de Guárico (la patria chica del ilustre Juan Germán Roscio). Allí no había electricidad, una escuela unitaria con una MAESTRA (así con mayúsculas) que aunque no graduada (iba a cursos en El Mácaro) en vacaciones, nos daba clases a tres grados simultáneamente en un mismo salón. Tenía el dominio del contenido, una pedagogía envidiable, su letra era una obra de arte, y su amor y dedicación por su labor era inconmensurable. Quiero citarla con nombre y apellido: mi MAESTRA María Angélica Santaella. La otra cara de la moneda: recientemente por razones de la "pelazón" en que nos encontramos todos estuve dándole clases particulares a un chico de 5° y luego en 6°, chico de clase media de aquí (la capital del país) alumno de un colegio de élite : Santa Rosa de Lima. Ese muchacho no sabe prácticamente nada de nada. Le di lenguaje y matemáticas y le revisaba los cuadernos de las otras asignaturas: no sabe el orden alfabético, no sabe de los puntos cardinales ni como orientarse, no sabía dónde nació Cristo (y ve religión), de ortografía mejor no hablemos ni de su nivel de lectura. "Usan" una enciclopedia carísima de Santillana, una verdadera porquería, pero prácticamente la docente no emplea el libro. Todo el tiempo (en matemáticas) lo que veían operaciones combinadas. Para muestra un botón.

Si esto pasa en una institución de supuesta fama ¿qué podemos esperar de una escuelita en el Barrio El Carpintero, o una en Tucupita o en Santa Elena de Uairén?

Realmente esto está para ponerse a llorar. Es duro decirlo: pero en promedio, la formación de un educador actual que cursa primaria, luego se gradúa de bachiller y después de licenciado .salvo honrosas excepciones- es muy inferior a la que daban las antiguas escuelas normales que cerró Caldera en donde se ingresaba luego de la primaria (no se pedía ser bachiller).

Gran parte de la culpa la tienen las instituciones formadoras de docentes, en las cuales -entre otras cosas- han primado las modas educativas, que si los objetivos, que si las competencias, etc., etc.

Corto esto aquí ya que se está pareciendo a un testamento.

Saludos

Walter Beyer
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Hola Ángel:

Se me quedaron muchas cosas en el "tintero" (así se decía antes cuando se escribía con tinta, hoy diríamos "en el teclado").

Tipos de números hay montones. Los pitagóricos eran aficionados a ellos: triangulares, cuadrados, pentagonales, etc. y con ellos hay montes de actividades lúdico-matemáticas muy formativas que se pueden diseñar. Luego tienes los números de Fibonacci, los cuadrados perfectos, los números metálicos (número de oro, de plata, etc.), los números combinatorios, y podríamos hacer todo un diccionario con ellos.

Pienso que en lugar de esas actividades "extrañas" (hay que llamarlas de alguna manera) como la que tu envías deben desaparecer del mapa y ser sustituidas por cuestiones más formativas.

Aquí mando una que me ha llegado de manos de mi buen amigo Luis Balbuena de Canarias. (Aparecen en la página https://www.canarias3puntocero.info/, una columna denominada Ejercitando Neuronas por Luis Balbuena Castellano)

Espero las disfruten.

Saludos

Walter Beyer