Compromiso

El conocimiento es uno de los pocos bienes que crece a medida que se comparte y se somete a la discusión abierta

http://mx.groups.yahoo.com/group/educacion-matematica/

La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional, ni de la lógica, ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz

Guy Brousseau

¡No pedagogismos, sino inspiraciones de la vida. Las necesidades del pueblo son los fines de la educación

Cartel en la Escuela Normal Rural de Tacámbaro, México

Mejorar la Enseñanza de las matemáticas no es tarea de un profesor, sino de una Comunidad Educativa

CLAME


lunes, 1 de julio de 2019

Estructuración Didáctica y del Conocimiento Matemático en los Libros de Texto de Matemática


III CONGRESO VENEZOLANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA








Estructuración Didáctica y del Conocimiento Matemático en los Libros de Texto de Matemática
(Caso de estudio: cinco libros escritos por el profesor Boris L. Bossio Vivas entre la década de 1 940 y la década de 1 960)


Ponencia a ser presentada en el Grupo temático 9:
PRODUCCIÓN Y EVALUACIÓN DE MATERIALES INSTRUCCIONALES






Ángel Míguez Álvarez

Universidad Nacional Abierta
Área de Educación
Mención Matemática



11, 12, 13 y 14 de octubre del año 2 000
Maracaibo, estado Zulia


Resumen
Introducción. Esta investigación está inscrita dentro de una línea de investigación sobre “Los Libros y demás materiales escritos de Matemática en el contexto Escolar Venezolano”. Se analiza en esta oportunidad el caso del Profesor Boris L. Bossio Vivas, en particular cinco de sus libros de texto de matemáticas publicados entre 1 945 y 1 960. El estudio pretende responder a cuatro interrogantes: estos libros de texto de matemática ¿se estructuraban aislados de las tendencias educativas que imperaban en la época en que fueron escritos?, ¿se estructuraban aislados de las tendencias matemáticas que imperaban en la época en que fueron escritos?, ¿se estructuraban para satisfacer la solicitud del organismo oficial que regía la actividad educativa en la época en que fueron escritos? y/o ¿respondían a necesidades de sus autores, a necesidades de los docentes en ejercicio, a necesidades de los alumnos y sus padres o a necesidades venidas de las empresas editoriales?

Metodología. Se analizaron los índices, los prólogos o las observaciones introductorias escritas por el autor, algunas de las lecciones, secciones o capítulos y algunos de los ejemplos y ejercicios propuestos en las lecciones, secciones o capítulos analizadas, a la luz de las teorías de la Cognición Situada de Stephen Billet y del Aprendizaje y Actividades Auténticas de Elizabeth Layden, Charles Desforges, Colin Mills y William Rawson. Para el análisis se hacen referencias a las teorías educativas predominantes en la época (conductismo, procesamiento de la información y aprendizaje social) y la corriente estructuralista de la matemática generada en esa época por “Nicolás Bourbaki”.

Resultados. La secuenciación de contenidos usada por el profesor Boris L. Bossio Vivas en sus libros de texto de matemática mantiene un alto isomorfismo con los programas educativos vigentes para su época, más que con las corrientes matemáticas; su relación con las teorías educativas predominantes de esa época es significativa, de hecho, las lecciones se desglosan en contenidos específicos y se abordan con la estructura siguiente: Definición, concepto o descripciones, Ejemplo, Ejercicios, Prueba o cuestionario[1] y Notas históricas o de Matemáticas Recreativas[2]. Los ejemplos y ejercicios usados son abstractos (descontextualizados) o semi-concretos (contexto real, pero no necesariamente vinculado a la realidad del estudiante). El uso de imágenes, color y gráficos es pobre. Sin embargo, sus reflexiones sobre el hecho educativo lo sitúan en un alto sitial dado lo avanzado y moderno de su pensamiento, basta leer las “Palabras del Autor” de su obra: MATEMÁTICAS Quinto y Sexto Grados, Aritmética-Geometría-Sistema Métrico de 1 952
Palabras clave: Libros de texto de Matemáticas, Actividades Auténticas, Cognición Situada.


Introducción

Escribir un libro de texto para enseñar matemáticas implica una doble actividad para su autor, por un lado, se debe estructurar el conocimiento matemático que se desea sea aprehendido por su futuro lector y, por otro lado, se debe diseñar y plasmar una estructuración didáctica de dicho conocimiento que haga posible el logro de la tarea planteada.
Es distinto escribir un libro de matemática, con el fin de formalizar y sistematizar un conjunto de definiciones y teoremas en una estructuración lógica del contenido expuesto, con miras a enriquecer la ciencia sobre la que se escribe.
Es por esta razón que nos hemos propuesto indagar cómo es y ha sido la Estructuración Didáctica y del Conocimiento Matemático en los libros de texto de Matemática en el contexto Escolar Venezolano.
En el caso particular que motiva esta ponencia, hemos decidido tomar cinco libros de texto de matemática escritos por el profesor Boris L. Bossio Vivas, entre la década del cuarenta y la década del cincuenta. Estos libros ejercieron una notable influencia en la Educación Matemática de la época y le permitieron ganar a su autor una merecida reputación en el ámbito de los libros escolares.
En primer lugar se analizaron los libros con miras a dilucidar la estructura que para los mismos había diseñado su autor, luego analizamos una lección por libro con miras a ubicar en sus circunstancias y en su tiempo el desarrollo de las mismas, para ello nos planteamos cuatro preguntas como guía para el análisis:
  1. ¿se estructuraban estos libros de texto aislados de las tendencias educativas que imperaban en la época en que fueron escritos?
  2. ¿estos libros de texto se estructuraban aislados de las tendencias matemáticas que imperaban en la época en que fueron escritos?
  3. ¿se estructuraban estos libros de texto para satisfacer la solicitud del organismo oficial que regía la actividad educativa en la época en que fueron escritos?
  4. ¿estos libros de texto respondían a necesidades de sus autores, a necesidades de los docentes en ejercicio, a necesidades de los alumnos y sus padres o a necesidades venidas de las empresas editoriales?
Por último, hicimos un análisis de las actividades desarrolladas y propuestas (ejemplos, ejercicios, problemas) a la luz de las teorías de la Cognición Situada de Stephen Billet y del Aprendizaje y Actividades Auténticas de Elizabeth Layden, Charles Desforges, Colin Mills y William Rawson.
Luego de estos tres análisis se extraen algunas conclusiones y se delinean algunas ideas que permiten ir construyendo un conjunto de planteamientos sobre el diseño y elaboración de material escrito de Matemática, con potencialidad de ser usado en el contexto escolar venezolano.

Estructura del libro y de la lección de Matemática

Hay una estructura que se deduce de la revisión de las Tablas de Contenidos de los libros analizados el cual llamaremos estructura del libro y otra de la forma de desarrollar cada capítulo, lección o sección del libro, la cual llamaremos estructura de la lección.
Estructura del libro
Caso quinto y sexto grados y primer año
·      Número y numeración, Operaciones de cálculo, Divisibilidad, fracciones, porcentaje y geometría.
·      Sistema de numeración, rectas y ángulos, Operaciones de cálculo, divisibilidad, fracciones y operaciones con fracciones, Sistema métrico decimal y cálculo de área
Aquí se refleja la clasificación tradicional de Aritmética y Geometría
Caso segundo año y segundo ciclo de educación secundaria
·      Volúmenes, Razones y proporciones, álgebra, fracciones algebraicas y ecuaciones, ángulos, triángulos, paralelas y paralelogramos
·      Combinatoria, Determinantes, Divisibilidad algebraica, Números complejos, Trinomio de segundo grado, Inecuaciones, Ecuaciones y Trigonometría esférica
Aquí se repite la clasificación mencionada de Aritmética y Geometría agregando el álgebra.
Esta es la forma tradicional, para la época, de organizar el plan de estudios, “...primero aritmética, luego álgebra elemental, luego geometría y luego más álgebra y por último, como si fuera la culminación del saber matemático, el cálculo diferencial e integral.” (Steen, 1 998). Hoy en día con la evolución que ha tenido la matemática se sabe que esta estratificación coarta la intuición formal del niño en su desarrollo del conocimiento de la matemática.
Esta estructuración responde perfectamente tanto a la concepción y clasificación, que imperaba en la época, de las ramas de las matemáticas como de su enseñanza. De igual manera, responden a los programas de estudio que no escapaban de la influencia de las concepciones imperantes en la época y por ende, se convertían en las necesidades de los docentes que debían cumplir con el programa de estudios establecido.
Los dos primeros libros de Boris Bossio analizados aquí son editados por el Colegio América, lo que indica la necesidad que existía de contar con un libro de texto que respondiera al currículo de estudios vigente.
Estructura de la lección
Analicemos cinco lecciones diferentes para ver si responden a una estructura común o varían por algún motivo explícito o implícito.
Áreas de algunas figuras planas – aplicación práctica de formulas
(Vivas, 1 945b pp 143-158)
Definición de área (medida) y de superficie (magnitud); luego para cada figura geométrica la define y describe sus partes, se apoya en un dibujo muestra una fórmula, la simbología a usar y un ejemplo y una serie de ejercicios. Breve historia del Sistema Métrico Decimal. Ejercicios y Problemas de repaso.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
(Vivas, 1 945c pp 197-247)
Definición de cada uno de los elementos de una ecuación, propiedades, clasificación de las ecuaciones en estudio, Metodología para la resolución de problemas, ejercicios, problemas de aplicación sobre tanto por ciento. Breve historia sobre la evolución del álgebra.
Divisibilidad – Números Primos
(Vivas, 1 946 pp 147-184)
Definición, Principios de la divisibilidad y números primos, tipos o construcción, Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo, ejercicios de repaso. Algunos datos históricos sobre el MCD y el mcm. Matemática Recreativa.
División de fracciones
(Vivas, 1 952 pp 195-208)
Definición, ejemplo, ejercicios y problemas de repaso. Cuestionario. Matemáticas recreativas.
Inecuaciones
(Vivas, 1 960 pp 187-207)
Definiciones, Principios de resolución, resolución de inecuaciones de primer y segundo grado, Sistemas de inecuaciones con una incógnita, ecuaciones e inecuaciones combinadas.
De los libros analizados se extrae una primera forma de estructuración de cada lección:
·     Definiciones, conceptos, descripciones
·     Ejemplo
·     Ejercicios y problemas
En los libros analizados de los años 1 945, 1 946 y 1952 la lección está acompañada de:
·     Breve reseña Histórica
·     Matemáticas Recreativas
En el libro de 1 952 hay una novedad:
·     Un Cuestionario por lección
Cabe señalar que en su primera obra en 1 945, el profesor Boris Bossio señala en el prólogo que además de los contenidos que exige el currículo que se estudie su libro contendrá una serie de datos históricos, problemas recreativos y motivos para elaborar ejercicios y problemas como parte integral de sus capítulos o secciones.
Para reforzar esa propuesta señala en el prólogo mencionado:
“Quisiera responder a los opositores de esta tesis con las frases de J. C. Poggendorf: ‘Quien pretende conocer una ciencia no debe limitarse a coger frutos maduros, sino que ha de procurar investigar dónde y cómo se han desarrollado’”
(...)
“Me permito mencionar nuevamente en esta oportunidad lo que en otra recalqué al presentar un plan de trabajo a la Dirección de mi muy preciado ‘Liceo Andrés Bello’: el educador-matemático no olvidará, para hacer sus clases más amenas, y sin menoscabo de su deber educativo, la matemática recreativa”.
Dadas estas afirmaciones en 1 945, es comprensible que con el tiempo, la experiencia en la elaboración de textos y los señalamientos de los profesores y editores se generen cambios en los libros. Para hacerle un seguimiento al proceso de maduración de cómo elaborar el libro de texto de matemáticas en el caso del Prof. Boris Bossio se deberían revisar todos sus libros publicados, de los cuales es posible obtener información según mis pesquisas a 31 de ellos.
Sin embargo, aquí sólo podemos señalar dos cambios importantes apreciados en los libros analizados.
  1. La inclusión de un cuestionario para evaluar la lección en la edición de 1 952 para quinto y sexto grados
  2. La eliminación de las reseñas históricas, matemáticas recreativas y el cuestionario en la edición de 1 960 para segundo año de ciencias y humanidades

Contexto académico, circunstancial y temporal del libro de Matemática

Cabe destacar aquí, un elemento del contexto en la aparición del primer libro de Boris L. Bossio Vivas:
Un nuevo diseño curricular para la educación venezolana (es una tarea pendiente por parte del autor de este trabajo indagar en qué consistió esa modificación), esta modificación contó con la participación y opinión de Boris Bossio y a su juicio ameritaba un libro que orientara a los docentes.
“Como en otra oportunidad, no he querido ahora, tampoco, presentarles un trabajo sistemático y completo, sino más bien un texto adaptable a nuestra enseñanza; un nuevo ensayo fraguado al calor del ambiente educativo venezolano; un mensaje de franca cordialidad y compañerismo a los que militan en las filas de nuestro profesorado y, en fin, una ayuda para el estudiante que encontrará desarrollados en él, en su propio vocabulario, los distintos puntos exigidos por los programas vigentes de las ramas de la educación media” (Vivas, 1 945c).
Por estos años reinaba en psicología la corriente conductista y en matemáticas la de la rigurosidad formalista lo que lleva a Boris Bossio a señalar:
“Es necesario, de manera especial en el primer año de Educación Secundaria y Normal, sacrificar en algo el rigorismo lógico de nuestra ciencia, en beneficio del aspecto psicológico que nos muestre la realidad ambiental” (Vivas, 1 945a).
Esto habla de las preferencias y concepciones de Boris Bossio y de una temprana diferenciación entre el estudio de la matemática como ciencia y la enseñanza de la misma en la educación básica y media.
Otros elementos, no menos importantes, también incidieron en la publicación de estas obras:
“Quiero en esta ocasión poner de manifiesto que, debido entre otras cosas a motivos relacionados con la guerra actual, nos hemos visto obligados a levantar esta obra en condiciones muy precarias por la falta de algunos signos y la imposibilidad de lograr su adquisición en el límite de tiempo impuesto por las necesidades escolares de su publicación” (Vivas, 1 945b).
Un denominador común de todos los libros de texto de Boris Bossio es su alta correspondencia con los programas oficiales de estudio y su deseo que sirvan de apoyo a los profesores y estudiantes en el desarrollo de su actividad académica.
Es importante destacar que para la época casi no había presencia de libros de texto adaptados al currículo escolar, existían muchos libros que abordaban, desde distintas ópticas, los temas de la matemática desarrollándose al buen entender y saber de su autor y el mismo le exigía al profesor el determinar que partes de él utilizar.
Por otro lado cabe resaltar una permanente preocupación de Boris Bossio, la atención al docente del interior del país, dado su aislamiento comunicacional y bibliográfico, por lo que en sus libros se verá con frecuencia citas y recomendaciones que puedan ser desarrolladas por los docentes de fuera de la capital o de provincia, como el los denominaba. Un ejemplo de ello son las secciones presentes en varios de los capítulos de sus libros titulados “Motivos para elaborar ejercicios y problemas” donde coloca fechas célebres (históricas, científicas), datos de conversión de medidas, medidas terrestres, eléctricas, sonoras, de planetas, etc.

Actividades de Aprendizaje en Matemática y la tan deseada transferencia de conocimientos
Para entender la inclusión de este aparte en el análisis de los libros de texto queremos hacer unos planteamientos teóricos previos.
“Sam tiene 5 años. El disfruta de la escuela y especialmente las matemáticas. Al ser observado durante una serie de actividades matemáticas se determinó que trabajaba dedicadamente en las tareas del esquema comercial usado en su salón. Este trabajo incluía, principalmente, dibujar objetos para elaborar conjuntos y luego colorearlos. Al preguntársele en qué consistía el trabajo, respondió colorear: El llamaba su libro de actividades matemáticas como su ‘libro de colorear’” (Desforges y Cockburn, 1 987).
“A un maestro se le asignó hacer que su clase de 8 años entendiera los orígenes socialmente negociados de las leyes. Les pidió que imaginaran que habían naufragado en una isla desierta y debían establecer reglas y sanciones que determinaran la conducta de la gente. Discutieron las reglas animadamente. Las expusieron al maestro. Luego, cuando se les preguntó que habían aprendido, una niña dijo que pensaba que había aprendido, que hacer si estuviera en un naufragio. Otra pensó que nunca tomaría otro viaje en barco” (Eduards y Mercer, 1 987).
Estos ejemplos muestran que los estudiantes han obviado el contenido abstracto de la lección que con tanto esmero y cariño habían planeado y desarrollado los maestros.
Plantean crudamente el problema de la tan deseada transferencia de conocimientos, la dicotomía que se presenta en el aula de clases entre la experiencia y el aprendizaje.
Esta situación también puede verse plasmada en los libros de texto, la forma como son abordados los conceptos, los ejemplos que se utilizan los ejercicios que se proponen, la concepción sobre el conocer y el hacer de la matemática quedan plasmados en el libro en cada una de sus lecciones. El autor reflejará en ellas sus concepciones y su visión particular de la ciencia que desea enseñar.
Al igual que en el aula de clases, el libro plasma una concepción sobre el conocimiento a ser aprehendido y cómo este será en un futuro usado por el lector para la solución de posibles problemas o situaciones problema, en la que la matemática juegue un rol en su posible solución.
Todo esto es debido a que ahora el aprendizaje es considerado más estrechamente relacionado a las circunstancias de su adquisición de lo que anteriormente se reconocía (Billett, S. 1 996). Además, esta teoría del aprendizaje situado propone que el conocimiento adquirido no puede ser transformado rápidamente a circunstancias diferentes o distintas a aquellas que le dieron origen.
No pretendemos aquí, emitir un juicio sobre una obra realizada hace más de cuarenta años con concepciones que comenzaron a discutirse con fuerza hace quince. Pero es importante señalarlo porque guía nuestro análisis que busca en los libros de texto lecciones que propongan actividades que propendan el aprendizaje en los alumnos.
Ahora bien, analicemos el contenido de la siguiente cita:
...”En efecto, a pesar del largo tiempo que la enseñanza de las Matemáticas y en especial del Cálculo lleva en las escuelas, y la gran atención que siempre se le ha concedido, el aprendizaje de estas materias ha sido considerado como uno de los más áridos y fastidiosos para los niños.
La causa de ello se encuentra en que exigen -el empleo constante de la atención tanto interna como externa, débil y vacilante en el niño. Manejan conceptos generales y abstractos cuando el niño sólo vive para lo particular y concreto, y se forman mediante el razonamiento puro que él es incapaz de seguir. Por ello la escuela antigua se limitó a aprovechar la facilidad de memorización del niño para sustituir los conceptos por palabras, y a utilizar la plasticidad cerebral del mismo para enseñarle mecánicamente a calcular, olvidándose así del principio importantísimo de que la instrucción ha de ser racional.
(...)
En efecto, ya es tiempo, en fin, que las Matemáticas busquen infatigablemente sus variadísimas relaciones con la vida real, con el ambiente de los niños, relaciones muy fáciles de encontrar durante el proceso del aprendizaje: las necesidades del mismo niño, del maestro, de la escuela; las instalaciones domésticas; los impresos para las operaciones comerciales corrientes (Presupuestos, recibos, facturas, giros, cheques, etc.), para las diversas estadísticas, etc.; los monumentos en las calles y plazas; los adornos en los edificios; las circunstancias particulares de la región donde está ubicada la escuela, siempre que representen algo matemático, etc., todas estas cuestiones constituyen la base concreta de nuestra enseñanza.
Los estudiantes mismos deben proponerse los problemas en relación con éstas y otras actividades de la vida real, sacando los datos de la riqueza abundante de sus propias experiencias. Así, el trabajo escolar se convierte en algo personal con el carácter de interés directo.
De manera análoga, no debe prescindiese en ninguno de los grados de la Primaria, de las acciones exteriores, manuales, actividad física de singular importancia especialmente en esta rama de la educación. Nada de exageración pero aprovechamiento constante. Los alumnos escriben, dibujan, forman, miden, pesan, siempre y cuando se presente la oportunidad bajo el punto de vista pedagógico. En todo caso se debe dar preferencia a aquellas tareas que permitan a los niños la comprobación de los resultados obtenidos por el cálculo, mediante mediciones concretas, por más aproximadas 'que éstas sean. Así, el proceso del aprendizaje adquiere vitalidad, las impresiones sensoriales (ópticas, acústicas, motoras, etc.) se unen al trabajo mental, dándole mayor solidez y duración.
(...)
Lo difícil, a la vez que lo más importante, es la formulación de un propósito que debe conseguirse durante la clase. La manera de establecer tales fines ' parciales varía siempre: NO HAY RECETA. El trabajo individual (en silencio) de cada alumno, alterna con el trabajo en grupo y el cambio de ideas entre todos los compañeros del curso. Debe hacerse uso oportuno de representaciones gráficas, confecciones de modelos ad hoc, etc. Naturalmente que en todo caso no ha de excluirse la exposición pura, por ejemplo, en conferencias, pero siempre debe ir acompañada de la crítica y de la aplicación necesarias.
Igualmente, muchas veces podrían realizarse excursiones de carácter matemático, Por ejemplo, Para medir alturas, apreciar distancias, obtener datos estadísticos, etc., o aprovechar en tal sentido, las que se efectúen para cualquier otro fin.
En resumen, la enseñanza de las Matemáticas se debe basar siempre en hechos concretos, reales, o, por lo menos probables, y siempre en relación con los intereses de los niños”.
Esta larga cita pareciera extraída de algún paper que se refiere al desarrollo de actividades auténticas en matemática y que no tiene más de 20 años de antigüedad, pues no, es el prólogo al libro de MATEMÁTICAS Quinto y Sexto Grados, Aritmética-Geometría-Sistema Métrico de 1 952 del Prof. Boris Bossio Vivas.
De aquí podemos afirmar que existía una claridad conceptual por parte del autor de la necesidad de plantear actividades en su libro de texto que estimulen el aprendizaje del alumno, que este sea racional y sea de su interés directo, tal como lo señala en la cita antes expuesta.

Conclusiones

  1. Sobre la estructuración de los libros de texto de matemáticas y su relación con las tendencias educativas que imperaban en la época en que fueron escritos, tenemos tres elementos a ser tomados en cuenta:
    • La mayoría de los ejercicios y problemas planteados reflejan las concepciones que imperaban en la época. Hacen referencia a situaciones abstractas o a situaciones que hacen referencia a una realidad que no necesariamente es la del alumno.
    • El Prólogo de su primer libro, escrito en el año 1 945 y las “Palabras del Autor” de su libro de 1 952 reflejan el conocimiento de las teorías educativas, pedagógicas y psicológicas de la época.
    • Existe en el autor una reflexión particular sobre el hecho educativo que es pionero en Venezuela en lo que a Educación matemática se refiere.
  2. Sobre la estructuración de los libros de texto de matemáticas y su relación con las tendencias matemáticas que imperaban en la época en que fueron escritos, tenemos un elemento a ser tomado en cuenta:
    • La claridad del autor de sacrificar, para la enseñanza básica y media, parte de la rigurosidad de la matemática, tendencia que era particularmente dominante para la época, sobre todo el formalismo en la matemática y las propuestas curriculares del grupo Bourbaki.
  3. Sobre la estructuración de los libros de texto de matemáticas y su relación con las necesidades del entorno, temporalidad y circunstancias en que fueron escritos podemos señalar que el hecho de que el Prof. Boris Bossio fuera parte integrante de la Comisión Técnica Revisora de los Pensum y Programas, hacía obligante que el mismo respondiera a las exigencias del currículo oficial. A la vez se convirtió en guía para los docentes y los alumnos, así como para otros autores que fueron apareciendo en los años subsiguientes.
  4. Es de hacer notar la diferenciación que se percibe entre lo pregonado en los prólogos y prefacios del libro con el desarrollo práctico de las lecciones. Más que falta de claridad en el autor, esto denota la ausencia de un equipo o de una colectividad de educadores matemáticos que afrontara la tarea de plasmar en actividades de aprendizaje las concepciones teóricas que se pregonaban.
  5. Es curioso y requerirá de una posterior pesquisa el saber por qué razón en la publicación del año 1 960 se abandona por completo lo señalado por el autor en el prólogo de 1 945, no conocemos si fueron las presiones de las editoriales, o un cambio de concepción al respecto. Esta última aunque posible se nos hace difícil de reconocer ya que estaría señalado expresamente, tal como lo hizo en sus obras anteriores al introducir nuevos elementos en los mismos.
  6. Por último queremos someter a la reflexión el siguiente esquema para la estructuración de una lección que se deduce del análisis realizado con miras a que sea enriquecido tanto en sus elementos constitutivos, como en la metodología que permita su desarrollo.
    • Definiciones, conceptos, descripciones
§  Ejemplo
§  Ejercicios y problemas
§  Breve reseña Histórica
§  Matemáticas Recreativas
§  Un Cuestionario por lección

 

Bibliografía


Billett, S. (1 996). Situated learning: Bridging sociocultuial and cognitive theorizing. Learning and Instruction. Vol 6. N° 3, pp 263-280. Elseiver Science. London.
Bossio, B. (1 945a). Matemáticas. Primer Año. Cuaderno Primero. Colegio América. Caracas.
Bossio, B. (1 945b). Matemáticas. Primer Año. Cuaderno Segundo y Tercero. Colegio América. Caracas.
Bossio, B. (1 945c). Matemáticas. Segundo Año. Aritmética – Álgebra - Geometría. Grafolit. Caracas.
Bossio, B. (1 946). Matemáticas. Primer Año. 2ª edición. Grafolit. Caracas.
Bossio, B. (1 952). Matemáticas. Quinto y Sexto grados. Aritmética – Geometría - Sistema Métrico. Almacén de Variedades Carlos Suárez B. Caracas.
Bossio, B. (1 960). Matemáticas. Álgebra y Trigonometría Esférica. Segundo Ciclo de Educación Secundaria. Segundo año de Ciencias y de Humanidades. Distribuidora Escolar. Caracas.
Desforges, C. y Cockburn, A. (1 987). [Understanding the Mathematics Teacher. Falmer Press. London]. Citado en Clayden, E., Desforges, C. Mills, C. y Rawson, W. (1 994). Authentic Activity and Learning. British Journal of Educational Studies. Vol 42. N° 2, pp 163-173, Blackwell Publishers. Oxford.
Edwards, D. y Mercer, N. (1 987). [Common Knowledge. Methuen, London]. Citado en Clayden, E., Desforges, C. Mills, C. y Rawson, W. (1 994). Authentic Activity and Learning. British Journal of Educational Studies. Vol 42. N° 2, pp 163-173, Blackwell Publishers. Oxford.
Steen, L. (1 998). La enseñanza agradable de las matemáticas. Limusa. México.


[1]     Sólo aplica en el libro MATEMÁTICAS Quinto y Sexto Grados, Aritmética-Geometría-Sistema Métrico de 1 952
[2]     No aplica en el libro MATEMÁTICAS, Álgebra y Trigonometría Esférica de 1 960