Artículos para el debate Pedagógico
De lo Real a lo Formal en Matemática
(Integra Educativa Vol. III/N°2)
Darwin Silva
(UPEL-IPC)
Introducción
Es impostergable el desarrollo de una educación
matemática vinculada a las realidades de nuestra patria latinoamericana. Para
ello, se hace necesario superar la enseñanza basada exclusivamente en pasos y
algoritmos completamente descontextualizados y, avanzar hacia la producción de
ideas matemáticas basadas en el estudio de fenómenos naturales o sociales,
donde la capacidad de abstracción es necesaria pero sin perder jamás de vista
la tierra firme.
La matemática, con sus conceptos, procedimientos,
técnicas y representaciones, aporta elementos para la comprensión y la
transformación de la realidad, mientras que esta misma realidad, a su vez,
ofrece fenómenos naturales y sociales que permiten la producción de ideas
matemáticas.
El proceso de enseñar y aprender matemática debe
fundarse en metodologías formativas con base en la realidad experimental de la
vida escolar y comunitaria, donde se promueva el trabajo cooperativo y en
equipo, se favorezca el desarrollo de capacidades para la resolución de
problemas, se impulse la concepción interdisciplinar de las ciencias, se
vincule el aprendizaje con los medios de producción material y se potencie la
integración afectiva y social de los responsables.
Apoyados en lo anterior y convencidos como estamos de
que la educación venezolana debe ser transformada, presentamos nuestro trabajo,
el cual esperamos sea de utilidad para nuestras y nuestros compañeros docentes
de matemática interesados en comprender y cambiar el estado actual de la
educación matemática en nuestros países latinoamericanos.
Educación, Matemática y Sociedad
¿Por qué y para
qué debe educarse a los habitantes de una nación?, ¿será acaso para
domesticarlos y hacerlos cumplir, de manera irreflexiva, cada una de las
ordenes de la clase dominante?, ¿ tiene sentido un proceso educativo apartado
de la vida, centrado en la palabra sin sentido y preocupado, casi
exclusivamente, por los procesos económicos?, ¿podemos construir una patria
verdaderamente democrática con una educación no acostumbrada al diálogo,
apartada de la investigación y sin amor por el estudio?
Las preguntas anteriores no son de sencillo
abordaje, ante todo porque las respuestas que se puede ofrecer son muchas. Por
lo tanto, en las líneas siguientes presentaremos lo mencionado en distintas
fuentes sobre los puntos centrales de las interrogantes anteriores.
En el artículo 15, numeral dos de la Ley Orgánica de
Educación (2009) venezolana, se establece como uno de los fines de la educación
el siguiente:
Desarrollar una nueva cultura
política fundamentada en la participación protagónica y el fortalecimiento del
Poder Popular, en la democratización del saber y en la promoción de la escuela
como espacio de formación de ciudadanía y de participación comunitaria, para la
reconstrucción del espíritu público en los nuevos republicanos y en las nuevas
republicanas con profunda conciencia del deber social.
A partir de lo anterior, podemos decir que la
educación debe permitir que el hombre y la mujer participen en los procesos de
transformación social; dichas transformaciones deben siempre responder a los
intereses de las mayorías y nunca a los de las clases económicamente dominantes
e históricamente opresoras, pero sin dejar de reconocer los derechos que los
miembros de estas ostentan como seres humanos. Para ello, es necesario avanzar
hacia la formación de un ser critico y apto para 1 convivir en una sociedad democrática;
para Skovsmose (1999: 16) ser crítico significa prestarle atención a una
situación crítica, identificarla, tratar de captarla, comprenderla y reaccionar
frente a ella. Ser crítico se refiere en parte a ser analítico ante
cualquier situación, pero además, la idea de crítica está enmarcada en la
necesidad de producir cambios y esclarecer las contradicciones presentes en
nuestras sociedades. Skovsmose (1999: 11) afirma que mientras crítica y
educación se mantengan separadas, la segunda fácilmente puede tomar la forma de
una entrega de información, o la función de socializar a la juventud dentro de
la cultura existente.
La educación debe ser el proceso mediante el cual el
individuo aprenda y comprenda los valores y tradiciones de su cultura, para
comprender su sociedad y ser capaz de transformarla. De acuerdo con Barreiro
(1975, citado en Freire, 1975: 14),
La alfabetización,
y por ende toda la tarea de educar, sólo será
auténticamente humanista en la medida en que procure la integración del
individuo a su realidad nacional, en la medida en que le pierda miedo a la
libertad, en la medida en que pueda crear en el educando un proceso de
recreación, de búsqueda, de independencia y, a la vez, de solidaridad.
La educación debe contribuir a alcanzar una sociedad
más democrática y participativa, donde cada persona encuentre las condiciones y
oportunidades para su liberación. La escuela tiene que enseñar a los
estudiantes a practicar, apreciar y defender valores básicos como el amor
patrio, la equidad, la democracia, la fraternidad y la tolerancia.
Según Freire (1975: 92),
La democracia y
la educación democrática se fundan en la creencia del hombre, en la creencia de
que ellas no sólo pueden sino que deben discutir sus problemas, el problema de
su país, de su continente, del mundo, los problemas de su trabajo, los
problemas de la propia democracia.
La escuela no puede continuar maravillada por la
sonoridad de la palabra, por la memorización de los fragmentos, por la
desvinculación de la realidad, por la tendencia a reducir los medios de
aprendizaje afirmas meramente nacionales (: 57), lo cual sin duda no
es más que una posición ingenua de nuestras sociedades latinoamericanas.
El ciudadano común debe ser capaz de comprender,
analizar, utilizar y transformar el orden económico, cultural, social,
político, ambiental, científico y tecnológico imperante en su sociedad. Pero
esto es imposible si la ciencia en general y la matemática en particular, son
vistas solamente como un conjunto de ejecuciones aisladas, donde en muchos
casos no se ofrece ninguna imagen, ni siquiera parcial o limitada, del mundo.
Es necesario que nuestros estudiantes al, estudiar
matemáticas, sientan que están estudiando un mundo real, donde los fenómenos
sociales, políticos, económicos y culturales son considerados al momento de indagar,
experimentar, errar, discutir, maravillar, dudar, crear, aplicar, generalizar,
abstraer y formalizar.
Es importante que las y los estudiantes y también
las y los profesores reconozcan que el conocimiento matemático se puede
producir a partir de actos creativos e imaginativos, vinculados con métodos de
búsqueda científica. Según De Guzmán (1993: 6), la matemática es, sobre
todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina
sobre el contenido; esta afirmación permite vincular la enseñanza de la
matemática a la resolución de problemas, los cuales deben tener como contexto
el mundo político, económico y social en el cual están inmersos los y las
estudiantes.
El proceso de aprender y enseñar matemáticas debe
estar vinculado a la vida cotidiana de los actores del proceso, lo que
significa que la matemática debe estar al servicio del entorno cultural,
social, político, económico y natural.
...los problemas
del mundo real serán usados para desarrollar conceptos matemáticos..., luego
habrá ocasión de abstraer, a diferentes niveles, de formalizar y generalizar...
y volver a aplicar lo aprendido..., y reinventar la matemática (De Lange, 1986,
citado en Alsina s/fi 8).
Una educación matemática vinculada a la realidad, es
sin duda una tarea interesante y compleja. El método de proyectos y la
modelación son dos importantes concepciones didácticas que hacen viable el
binomio matemática-realidad.
El Método de Proyectos
El método de proyectos tiene sus inicios a mediados
del siglo XVII, cuando se funda en París la Academia Real. En
dicha institución los estudiantes, para poder culminar los estudios de
arquitectura, debían presentar un trabajo práctico vinculado a un problema de
diseño para una construcción (Knoll, 1997).
En Venezuela, las primeras referencias vinculadas al
método de proyectos las podemos encontrar dentro del marco de la Escuela Nueva. Para
el año 1933, la
Educación Primaria contaba con nuevos programas, y en ellos
podemos encontrar algunas pequeñas referencias a principios y métodos de la
escuela activa. El método de proyectos es incorporado en los programas de
urbanidad e higiene a partir del 3er grado.
El año 1997, con la reformas de las primeras dos
etapas de Educación Básica, el método de proyectos es introducido como
estrategia de planificación central del currículo. De esta manera surgen el Proyecto
Pedagógico de Plantel (PPP) y el Proyecto Pedagógico de Aula (PPA).
La experiencia más reciente con el método de
proyectos, en nuestro país, está la relacionada con el Proyecto Educativo
Integral Comunitario (PEIC), el Proyecto de Aprendizaje (PA) y el Proyecto de
Desarrollo Endógeno, propuestos por el Sistema Educativo Bolivariano como una
manera de organizar la gestión escolar a partir de la investigación de
situaciones reales de la vida diaria y la participación integrada de todos los
actores del proceso educativo (Ministerio del Poder Popular Para la Educación , 2007: 66).
El Sistema Educativo Bolivariano propone los
proyectos como una forma de organización de los aprendizajes, pero, ¿en qué
consiste el método de trabajo por proyectos?
Según Mora (2004: 114), podemos definir el método
de proyectos Lomo una búsqueda organizada de respuestas, por parte del trabajo
cooperativo entre estudiantes, docentes, padres, a un conjunto de interrogantes
en torno a un problema o tema relevante desde el punto de vista social, individual y colectivo. Los proyectos educativos representan una forma de
organización escolar que propone estudiar la realidad para intervenir en ella.
En el mismo orden de ideas, Aravena y Jiménez (2002)
mencionan, con respecto a los proyectos, que:
-
Contribuyen al desarrollo de la autonomía. Este es
un concepto clave en la forma de aprendizaje que se basa en la reflexión sobre
la propia experiencia.
-
Ayudan al desarrollo de la motivación. La relación
entre motivación y aprendizaje desempeña un papel crucial en el trabajo por
proyectos.
-
Estimulan el uso de capacidades cognitivas y
metacognitivas en las y los estudiantes.
-
Favorecen, en la formación del estudiante, la
capacidad para enfrentarse con flexibilidad y confianza a problemas nuevos y
complejos, en un mundo que está en cambio permanente.
-
Reflejan una integración de los contenidos
aprendidos y permiten reconocer y mejorar concepciones del estudiante sobre el
propio papel del contenido matemático como ayuda a la modelación, promoviendo
un proceso de regulación importante.
Según
Schulz (1973 y 1980, citado en Mora, 2004: 31), una unidad basada en proyectos
debe estar constituida por las siguientes características:
1.
Un proyecto de enseñanza debe partir de las
necesidades de las y los estudiantes.
2.
Dominio de situaciones concretas de la vida, las
cuales no solamente están inmersas en ci mundo cerrado de la escuela, sino
aquellas que sean relevantes precisamente en la realidad cotidiana.
3.
Orientado hacia la producción no solamente del
conocimiento intelectual, sino además la producción y uso de tecnología en la
elaboración de cosas útiles para el mismo aprendizaje y para beneficio de los
estudiantes.
4.
Superación de la frontera entre el tratamiento de
las especificidades inherentes a cada disciplina científica, lo cual significa
enseñanza basada en la interdisciplinariedad.
5.
La enseñanza orientada en proyectos debe ser
socialmente relevante y significativa para todos los individuos.
6.
Este tipo de enseñanza requiere del trabajo en
grupos.
La educación guiada por la metodología de trabajo
por proyectos pareciera ser sumamente ambiciosa por lo que, tal vez, se ha
ganado muchas enemistades y ha suscitado una gran desconfianza entre quienes
defienden el trabajo disciplinar y especializado de los conocimientos
científicos. Se dice que los proyectos son poco sistemáticos, lo que, para
algunos, no beneficia el aprendizaje de conocimientos vinculados con las
ciencias naturales y las matemáticas. Otros aseguran que la educación por
proyectos beneficia la formación integral y crítica de las personas. Nuestra
intención es determinar el grado de veracidad de esas afirmaciones a través de
la práctica social.
Con respecto a la elección de los temas y contenidos
de un proyecto, Mora (2004: 41) nos dice que un proyecto, en sentido
estricto, debe permitir que las y los estudiantes determinen los temas y
contenidos. Nosotros consideramos dos variantes de esta propuesta inicial: la
primera deja que las y los estudiantes y profesores fijen en conjunto los temas
de trabajo; y la segunda permite que los estudiantes escojan los temas a partir
de una presentación previa, que debe ser bastante variada, efectuada por los
profesores. Es importante señalar que Mora no considera como un proyecto aquel
en que el docente impone el tema sin tomar en cuenta la opinión de los
estudiantes.
Por su parte, Skovsmose (1999) no considera este
último punto como una condición indispensable del método de proyectos. Las
condiciones establecidas por este autor son las siguientes: a) el tema tiene
que ser bastante conocido para los educandos, la situación escogida debe
poderse formular y discutir en el lenguaje natural; b) los educandos deben
poder desarrollar el tema aún si sus habilidades fuesen bastante diferentes
entre sí; c) el tema debe poseer un valor por sí mismo, no debe convertirse en
una mera introducción a una parte de una nueva teoría matemática o de alguna
otra área del conocimiento; d) el trabajo debe crear conceptos matemáticos, físicos,
biológicos, sociales, culturales, etc., así como también debe procurar que el estudiante identifique dónde y cómo aplicar o usar ideas matemáticas, físicas,
biológicas, etc.
Con respecto a cómo decidir cuáles serán los
objetivos del trabajo, Mora (2004) plantea tres posibilidades: a) las y los
estudiantes, de manera independiente, formulan problemas y objetivos; b) las y
los estudiantes y las y los profesores deciden los objetivos conjuntamente; c)
las y los estudiantes escogen algunos objetivos de entre los presentados por la
o el profesor. Si bien es necesario establecer unos objetivos iniciales que
guíen el desarrollo del proyecto, también es importante atender los problemas y
objetivos no considerados en la planificación inicial. Estas nuevas situaciones
pueden ser abordadas en el desarrollo del mismo proyecto, o pueden ser el punto
de partida de uno nuevo.
Otro elemento importante que se debe considerar
durante la realización de proyectos educativos, es la evaluación. Generalmente,
evaluar es una actividad poco amigable, de hecho pareciera ser más interesante
desarrollar un proyecto que evaluarlo, lo que en ocasiones no es nada sencillo.
Pero, a pesar de todo esto, no es concebible un proyecto educativo sin una
evaluación y esto se debe a que este proceso permite determinar: a) el grado de
desarrollo del proyecto; b) si es necesaria una reorientación; c) cuáles son
los procesos y productos logrados por los estudiantes; d) a qué necesidades y a
qué contexto responde el proyecto; y e) cuál es el desenvolvimiento de los
participantes.
Cuando se habla de evaluación de los aprendizajes
generalmente se hace referencia a dos modalidades: la formativa y la sumativa.
Refiriéndose al tema de los proyectos, Abrantes, P., Bastos, R., Brunheira, L.
y da Ponte,J. (1998: 24) afirman que:
…la evaluación
formativa se realiza en cualquier punto del proceso y tiene por objetivo
verificar como andan las cosas..., la evaluación sumativa corresponde al
balance final que se hace sobre un proyecto, inventariando la calidad de sus
productos y aprendizajes.
No podemos evaluar un proyecto educativo mediante
una prueba de tiempo fijo, es importante que el(los) encargado(s) del proceso
evaluativo documente(n), empezando en el mismo momento en que se elige el
problema desde la revisión bibliográfica, el diseño de la investigación y la
descripción del modelo, hasta la entrega del informe final.
La información que se debe registrar y cómo hacerlo,
de seguro estará determinada en gran medida por las creencias del docente y las
particularidades individuales y colectivas de los grupos de trabajo. Sin
embargo, creemos importante que, durante la ejecución del proyecto, en lo que a
matemática se refiere, se registren: datos cognitivos (producción de
conocimientos matemáticos), epistemológicos (connotaciones matemática-realidad)
y heurísticos (estrategias utilizadas en la resolución del problema) (Fortuny
y Gómez, 2002).
Por otra parte, consideramos necesario registrar las
características socio-afectivas (motivación, participación, capacidad comunicativa)
de todo el estudiantado que toman parte en las diferentes etapas del proyecto.
La evaluación debe ser un proceso que permita
mejorar profundamente la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, así como
también una manera de registrar y analizar información relevante que permita
conocer qué, cómo, cuándo y cuánto aprenden los educandos.
Ya para finalizar, un elemento que puede hacer
viable la enseñanza de la matemática basada en el método de proyectos, es el de
la modelación, cuyo punto de partida es el planteamiento de un problema que
puede provenir de la matemática o del mundo real.
Modelación Matemática
Una forma
de esquematizar el proceso de modelación planteado por D’ Ambrosio (1985), se
puede evidenciar en el gráfico 1 que presentamos a continuación:
Gráfico 1. Modelación matemática
Fuente: D’Ambrosio (1985)
El esquema expuesto en este gráfico está diseñado de
tal manera que se comience con un problema que provenga de la realidad. La
experiencia educativa de una o un estudiante estará incompleta mientras no
tenga ocasión de resolver problemas que estén vinculados con su localidad,
región o país y que, además, sean de interés para la comunidad. En un primer
momento, es normal que exista un enunciado vago de lo que se quiere, será a
partir del análisis y de la investigación de los elementos vinculados con la
situación real que se enunciará el problema con todo detalle. Las situaciones
realistas deben contener informaciones ricas en contenidos para las y los
estudiantes, incluir diversas interrogantes, incorporar diferentes áreas del
conocimiento científico y permitir el tratamiento de amplios y variados contenidos
matemáticos. Las situaciones problemáticas prácticas tomadas de la realidad
siempre deben ser mostradas en forma de tareas verbales.
Las y los estudiantes deben construir el modelo
matemático de la tarea expresada de forma verbal. No es lo mismo contar desde
el principio con el modelo, que elaborarlo. La misión de construcción no es
sencilla. En este momento, lo que se realiza es la sustitución de palabras por
símbolos propios de la especificidad matemática (ecuaciones, inecuaciones,
relaciones, funciones, etc.). Fortuny y Gómez (2002: 9) mencionan al respecto
lo siguiente: De esta forma se consigue una formulación matemática del
problema y, de una manera natural, se establece el problema en términos
matemáticos.
Normalmente, las y los estudiantes tienen problemas
para resolver modelos matemáticos (Fortuny y Gómez, 2002; Orellana, 2004). Es
preciso resolver el modelo usando las herramientas adecuadas. Por ello, es
importante auto-regular y controlar las decisiones globales referidas a la
implementación de recursos y estrategias.
Resulta importante que el estudiante se dé cuenta de
que, para llegar a resolver un problema usual de su ámbito social, necesita del
aprendizaje de conceptos, términos, definiciones, procedimientos y algoritmos
propios del saber matemático que proporcionen respuestas al modelo establecido.
De esta manera, el alumno alcanza un grado fuertemente elevado de interés
por el aprendizaje de las matemáticas, ya que visualiza su utilidad (Fortuny
y Gómez, 2002: 9). Un estudiante motivado estará en condiciones de empezar a
desarrollar su independencia cognitiva. Es importante acotar que, en este
trabajo, el desarrollo de procesos mentales es entendido principal, aunque no
exclusivamente, como un medio para la compresión y transformación de las
estructuras sociales en crisis.
Por último, es necesario interpretar y reescribir
los resultados numéricos obtenidos en términos del problema propuesto y,
también, saber escoger, si hay diferentes soluciones, la más adecuada al
problema real inicial.
Habilidades Matemáticas
En los años 70 comenzó a surgir, entre los
educadores matemáticos, fuerte reacción contra la existencia de un currículo
único y la forma impuesta de presentar la matemática en todos los países. La
matemática moderna, con la sustitución de buena parte de la geometría por el
álgebra, convirtió a la matemática escolar en puras generalidades sobre
conjuntos y lógica, dejando de lado temas y problemas muy interesantes. Además,
esta reforma no dejaba espacio a la valorización del conocimiento que la niña y
el niño trae hacia la escuela.
Después del fracaso, desde el punto de vista de la
enseñanza, de la matemática moderna, ha surgido en el mundo una gran discusión
en torno a cuáles matemáticas se debe enseñar y de qué manera se debe
enseñarlas.
Con respecto a este asunto, De Guzmán (1993: 5)
afirma que:
La filosofía de
la matemática actual ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la
primera parte del siglo sobre los problemas de fundamentación de la matemática,
para enfocar su atención en el carácter cuasi empírico de la actividad matemática
(1. Lakatos), así como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersión
de la matemática en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder)
En su obra Pruebas y Refutaciones. La lógica del
descubrimiento matemático (1978), Lakatos postula que la matemática deben
ser desarrolladas siguiendo ci patrón de las conjeturas, las pruebas y las refutaciones.
Según Gazcón (s/f), el punto de partida para
este patrón debe ser un problema (no necesariamente matemático) en el que la
atención se fija en los momentos más oscuros e informales de la teoría
matemática en elaboración. Lo más importante, desde esta postura, son los
procedimientos (no necesariamente algorítmicos): conjeturar, probar,
contrastar, refutar, buscar contraejemplos, comparar con problemas similares,
etc. Bajo este punto de vista, las matemáticas dejan de ser un conjunto de
verdades eternas, infalibles, sagradas, dogmáticas y se convierten en una
manifestación humana que se vale de los argumentos por analogía, del
significado físico de algunos conceptos, del mundo real, de la intuición, la
deducción, el análisis, la síntesis, la particularidad, la generalidad y la
lógica para su conformación y evolución.
Es necesario motivar a los y las estudiantes para
que reflexionen sobre sus pensamientos y actividades. Las situaciones
problemáticas deben permitir que los educandos no se limiten a buscar la
respuesta correcta, sino que traten de hallar las razones por las cuales un
procedimiento, algoritmo o teorema eso no útil para la resolución del problema
estudiado.
Tall (1991) caracteriza al pensamiento matemático a
través de procesos como la clasificación, la representación, la deducción, la
abstracción, la visualización, la generalización y la demostración. Este autor
advierte que estos no son los únicos procesos presentes al momento de pensar
matemáticamente. Cantoral (2000) se aproxima a la definición de pensamiento
matemático, comparándolo con las formas en las que piensan los matemáticos
profesionales.
Habilidades de pensamiento como particularizar,
generalizar, conjeturar, argumentar, analizar, clasificar, sintetizar y
explicar deben ser una referencia para cualquier programa que se interese por
presentar a las matemáticas como una manera de conocer y rehacer e1 mundo real.
Una
educación matemática preocupada por desarrollar en los estudiantes habilidades
matemáticas que les permitan comprender y participar de manera activa en su
entorno y entender la matemática como un sistema, debe considerar los elementos
expuestos por Lakatos y Tall, pero además es necesario que se interese por
estudiar los problemas de la matemática como disciplina científica, su
desarrollo histórico, la veracidad de las proposiciones y por reflexionar
entorno a preguntas como:
¿De qué manera la matemática
contribuye a la comprensión de fenómenos sociales y naturales?, ¿qué tan
próximos a la realidad son los resultados arrojados por un análisis matemático?,
¿se hubiese podido llegar a una conclusión similar sin matemáticas?, ¿el mundo
exterior a las matemáticas aporta elementos para su desarrollo?, ¿ se
puede prescindir de las técnicas matemáticas a la hora de resolver un modelo
matemático?, ¿la enseñanza de la matemática responde a intereses políticos y
económicos?, ¿las matemáticas son una manera de legitimar la desigualdad
educativa? Una enseñanza de la matemática y de las ciencias naturales vinculada
con situaciones problemáticas reales y significativas para la sociedad y, por
lo tanto, para las y los estudiantes, ¿puede contribuir a un cambio en las
condiciones materiales de producción y al desarrollo de la conciencia de los
ciudadanos venezolanos? Los y las estudiantes de nuestra educación media, ¿están
preparados cognitiva, física y emocionalmente para el estudio del mundo real,
que es su mundo?
Las preguntas anteriores son fáciles de formular,
pero difíciles de responder científicamente y la única manera de contestar
correctamente es participando en la práctica que modifica la realidad.
Si realmente existe un interés por alcanzar una
enseñanza de la matemática vinculada a la comprensión y transformación de
situaciones en crisis, es necesario aprovechar el marco conceptual de las
matemáticas y el de las ciencias naturales para obtener una interpretación
específica de un modelo de la realidad, para que, posteriormente, las mismas
matemáticas, las ciencias naturales y la tecnología desarrollen e incorporen
modelos que contribuyan a intervenir en la realidad.
Una experiencia de investigación-acción crítica basada en el método de
proyectos
Toda investigación responde al enfoque, modelo
conceptual o paradigma que se asuma, lo cual condicionará los procedimientos
que se desarrollen en la misma. Cada enfoque tiene una conceptualización
diferente de cómo, qué, para qué, dónde y por qué investigar. En nuestro caso,
asumimos como enfoque de investigación el paradigma sociocrítico, que parte de
supuestos emancipatorios y se vale de la investigación para comprender e
intervenir en la realidad.
Para Carr y Kemmis (1988), bajo el marco de una
Ciencia Social Crítica, la relación entre lo teórico y lo práctico no puede
limitarse exclusivamente a prescribir una práctica en base a una teoría, ni a
informar el juicio práctico. Para estos autores, la teoría debe ser el
resultado de un proceso llevado a cabo por una persona o grupo con el fin de
entender sus propias prácticas, así como las situaciones en que se realizan.
Con base en lo anterior, se hace indispensable una
investigación educativa que se ocupe del mejoramiento de las prácticas, de la
comprensión de las mismas y de las situaciones en que se llevan a cabo, para
hallar la nueva educación a través de la crítica de la antigua.
Según Mckernan (2001: 47), la
investigación-acción crítica se ve como un proceso que da poder político a los
participantes; la lucha es por formas más racionales, justas y democráticas de
educación. No es suficiente que unos pocos expertos se encarguen de
investigar externamente la educación, con el fin de producir teorías educativas
que luego serán puestas en práctica por las y los profesionales en ejercicio,
lo cual crea una insalvable separación entre la teoría y la práctica; es
necesario que el currículo se alimente de la investigación realizada por los
docentes dentro de la escuela, se debe respetar el derecho que tienen las
profesoras y los profesores de adquirir y producir conocimientos a partir de la
reflexión sobre su práctica. Además, se debe reivindicar a la escuela como el
centro de la investigación educativa.
En esta investigación, nos interesamos por
reflexionar, analizar y describir los datos que emergiesen de la interacción
entre los estudiantes, el profesor, las situaciones problemáticas y las
matemáticas, con la intención de intervenir en la realidad del estudiante, del
profesor y en el diseño curricular de las matemáticas escolares.
A través de este trabajo hemos aportado elementos
que permitirán desarrollar unas matemáticas escolares que sean útiles para la
comprensión y transformación de situaciones en crisis y, por ello, deseamos
desarrollar en las y los estudiantes habilidades matemáticas tales como la
reflexión, la argumentación, la visualización, la representación y la
formalización, a partir del estudio de algún fenómeno proveniente del mundo
real.
Los sujetos involucrados en esta investigación
fueron:
-
25 estudiantes de tercer año de
Educación Media, estudiantes de la Unidad Educativa Nacional General José Francisco
Bermúdez, la cual está ubicada en la comunidad de El Rodeo, en el estado
Miranda.
-
El docente del curso, Magister en Educación Mención
Enseñanza de la Matemática ,
con siete años de experiencia docente.
Presentación y Análisis de los Resultados
A continuación presentamos algunos de los análisis
crítico- reflexivos elaborados a partir de ¡os diarios, los talleres escritos,
las pruebas escritas y los cuadernos de cinco estudiantes de tercer año de
educación media que participaron en el desarrollo de los proyectos educativos,
que tenían como tema generador La valoración de las distintas fuentes de
energía. A partir de lo establecido por Becerra (2006) y Moya (2008), en
nuestra investigación omitimos los nombres y el género de las y los estudiantes
participantes, que serán identificados desde Estudiante 1 (El) hasta Estudiante
5 (E 5).
La información está organizada en categorías, que
son una especie de etiquetas creadas para agrupar la información vinculada
entre sí, respetando la naturaleza de la misma.
Categoría
1: Concepto de función
Esta categoría se refiere a las formas en la que los
estudiantes producen y se apropian del concepto de función. En el gráfico 2, se
observa lo dicho por las y los estudiantes sobre este importante concepto de la
matemática.
Gráfico 2
Categoría: Concepto de función
En el comentario aportado por el Estudiante 2,
podemos observar que el establecimiento de variables y la representación
gráfica de la relación establecida entre ellas no resultó ser una actividad
sencilla, esto se evidencia en la cita [2:23] [101] Dígame para expresar la
relación en un gráfico, eso sí que fue bastante complicada; la relación a
la que hace referencia el Estudiante 2 es la que viene dada por las variables
Kilovatios! hora (Kw/h.) y costo en bolívares (Bs.), sobre datos tomados de una
factura emitida por Electricidad de Caracas. Lo importante aquí es observar
cómo, a partir de un recibo de luz y de la necesidad que tiene el
estudiante de conocer qué características tiene el consumo de energía eléctrica
en su hogar, comienza a producir elementos vinculados con la matemática; en
este caso, se apoya en una representación gráfica de tipo cartesiana que le
permite comprender la situación planteada. Además, la representación en el
plano cartesiano no aparece como resultado de un procedimiento mecánico de
construcción punto a punto, sino que es una construcción con una
intencionalidad, que consiste en representar una situación de una forma
particular.
El Estudiante 2 continúa diciendo en la cita [2:24]
[103]: …después teníamos que decir si esa gráfica definía una función o no,
eso sí que era bastante fácil; en este caso, el estudiante utilizó, como se
observa en la fi gura 1, el criterio de la línea vertical (cualquier recta de
ecuación x = a, con a Î
R, que corte a la curva en uno y sólo
en un punto) para justificar que la gráfica define una función.
Figura 1
Taller
escrito 2
En la figura 1 podemos observar cómo los estudiantes,
a partir de los datos analizados en cada uno de los proyectos, se apoyan en
representaciones, procedimientos y conceptos matemáticos que les permiten
interpretar la situación problemática planteada. El Estudiante 3 afirma que
[3:19] [72]...ya que, para que pueda decir que es función, es necesario que
cada elemento de °C esté relacionado con
un único elemento de °F; en
este caso, utiliza un sistema de tipo verbal para justificar que la relación es
una función. Consideramos importante señalar que no es conveniente hablar de un
sólo registro representativo para algunos conceptos cuya naturaleza admite la
posibilidad de diferentes representaciones, lo que nos permite hablar de sistemas
de representación (Vernaugd, 1990).
La consideración exclusiva y absoluta de un modo de
representación puede obstaculizar la plena comprensión del concepto. Según
Bagni (2004), el concepto defunción se vincula, a menudo, directamente con
la gráfica cartesiana de la relación examinada; para muchos alumnos tal
conexión es esencial para decidir si una relación es una función. El autor
afirma a continuación que:
…tal situación,
intuitiva y didácticamente importante, debe ser controlada por el profesor, una
exagerada presentación visual podría llevar a los alumnos a malos entendidos a
propósito del carácter de algunas relaciones que no se considerarían funciones
en cuanto no pueden visualizarse como curvas.
En la figura 2 se puede ver cómo uno de las y los
estudiantes representa la relación Kw/h-Bs. de distintas maneras y se apoya en
ellas para justificar que la relación define una función. AL estudiar este
concepto, es importante considerar diferentes formas de representación, tales
como: la descripción verbal, el modelo físico, la tabla de valores, el diagrama
de Venn, el gráfico cartesiano y las fórmulas o ecuaciones, de manera que la
diversidad de representaciones permita al estudiante una mejor comprensión del
objeto representado.
Figura 2
Taller
escrito 2
El Estudiante 2 nos dice, en la cita [2:22] [89],
que esa clase sí que era difícil, dígame cuando nos mandaron a explicar, eso
si no lo realicé del tiro por lo difícil que era. Bueno, sólo explicarlo,
porque de representarlo eso sí que es fácil, hicimos representaciones. En
este punto el estudiante expresa claramente que tiene dificultad para realizar
la explicación de un hecho en matemáticas, lo que se debe a: 1) que explicar no
es una actividad común dentro del aula de matemáticas, generalmente los
estudiantes realizan unos cuantos ejercicios de forma mecánica, pero sin
enterarse del por qué y el para qué de esta actividad, a lo que se ha
denominado paradigma del ejercicio (Skovsmose, 1999); y 2) que explicar está
vinculado al por qué de las cosas, lo cual es una actividad cognitivamente
exigente. Bishop nos dice que explicar es una actividad que conduce al
desarrollo de las matemáticas, y la considera como la actividad que eleva la
cognición humana por encima del nivel asociado a la mera experiencia del
entorno (1999: 71).
Observemos cómo el Estudiante 1 [1:37] [76] se
preocupa por explicar lo que para él significa punto medio de un segmento:
Vimos cómo determinar el punto medio de un segmento de varias formas, 1era)
sumando el punto de un lado del segmento + el otro punto del otro lado
del segmento entre dos, lo que nos diera era el punto medio de x segmento; 2da)
viendo cuál es la distancia que hay entre un punto y otro, esa distancia la
dividimos entre dos y ese es punta medio de x segmento. El estudiante, al
explicar cómo se calcula el punto medio de un segmento, produce un algoritmo
que le será útil en futuras tareas.
Además, menciona algunos atributos de este concepto,
lo que le permite ir apropiándose de esta idea matemática; de acuerdo con
Skovsmose (2000), el significado también puede verse, primero que todo, coma
una característica de las acciones y no sólo de los conceptos. Para este
autor, haber escuchado la definición conceptual no garantiza la comprensión del
concepto. Según Vinner (1991), adquirir un concepto significa tener una imagen
conceptual de él. En esta investigación, intentamos resolver el problema de la
comprensión conceptual planteando situaciones a ser analizadas por medio de
procedimientos, representaciones y conceptos de la matemática que los
estudiantes debían aprender cómo y cuándo utilizar.
Para aproximarnos de mejor manera al significado que
le han asignado los estudiantes a este concepto, analicemos lo realizado por
ellos en uno de los talleres escritos.
Figura 3
Taller
escrito 1
En la figura 3 podemos observar cómo se establece la
relación entre las escalas Fahrenheit y Kelvin considerando sus equivalentes;
para ello, se utiliza un concepto geométrico como el de punto medio, lo
cual ofrece la posibilidad de que los estudiantes reconozcan la conexión que
hay entre las distintas áreas de las matemáticas (Geometría- Álgebra) y que se
beneficien de la comprensión de cómo se ha establecido la relación entre las
variables.
Categoría
2: Papel del estudiante
Para la conformación de esta categoría, hemos
utilizado los comentarios realizados por el Estudiante 2 en su diario de clase,
los cuales hacen referencia a un aspecto del papel que les corresponde tomar a
los educandos durante el desarrollo de los proyectos educativos. Estas
opiniones están reseñadas en el gráfico 3.
El Estudiante 2, en la cita [2:17] [176],
refiriéndose a unos comentarios realizados por el profesor del curso durante el desarrollo de una de las actividades de los proyectos, indica: se lo dije
que no hablara con ese tono, que bajara más la voz, porque asustaba a uno,
entonces pone nervioso a uno. Y bajó la voz y todo se normalizó, y agrega
en la cita [2:15] [168] pero hasta lo irrespetuosa se me quería salir, es
que provocaba lanzarle la regla que tenía para que dejara la criticadera y el
quejar, pero como yo sé que son críticas constructivas, no me molestó.
Gráfico 3
Categoría:
Papel del estudiante
De las afirmaciones anteriores, podemos deducir que
el estudiante está inconforme con el comportamiento del docente, lo que
despierta en él la necesidad de reclamar un mejor trato, pero no lo hace de una
forma irrespetuosa, sino que enfrenta la situación y al docente con argumentos
que le hacen comprender al docente que su actitud no está beneficiando el
proceso de aprendizaje de las y los estudiantes.
Bajo una estructura clásica de la escuela, el
profesor o la profesora son la máxima instancia de poder y autoridad dentro del
espacio de aprendizaje, lo que lo o la convierte en una figura que no puede ser
cuestionada. Esta corriente considera que los y las estudiantes son meros
receptores de la acción docente, lo que entra en plena contradicción con una
educación democrática y participativa, donde las y los estudiantes tienen
derecho a expresar sus ideas en torno a qué aprender y cómo aprenderlo.
Es cierto que, dentro del marco de una enseñanza de
la matemática guiada por la metodología de trabajo por proyectos, el líder debe
seguir siendo el docente, pero esto no quiere decir que sus decisiones y
acciones no puedan ser cuestionadas por las y los estudiantes, o que no puedan
existir líderes entre ellos que contribuyan a un mejor desarrollo del proceso
de enseñanza-aprendizaje.
Es indispensable que la escuela enseñe a las y los
educandos a enfrentar, de forma colectiva, legal, justa, consciente y sin
importar la estructura de poder que los sustente, a cualquier acto o persona
que vulnere valores y derechos como el respeto, la libertad, la vida, la libre
expresión, el acceso a la educación, a la salud, a la vivienda, a la
recreación, al transporte público, etc. Para ello, es indispensable que
nuestras y nuestros estudiantes posean conocimientos científico-tecnológicos y
que estén en la creencia de que pueden participar productivamente en su proceso
educativo y en la formación de una patria mejor.
Con base en lo anterior, se hace necesario tener
mucho cuidado de que, con el pretexto de garantizar la prosecución escolar,
nuestros y nuestras estudiantes avancen en el sistema educativo sin obtener los
conocimientos necesarios que les permitan analizar fenómenos naturales o comprender,
criticar y transformar las situaciones de crisis que se presentan en su medio
social; no podemos entregarles a la razón universal o a una ética carente de
hechos, información y conciencia, negándoles la posibilidad de juzgar,
participar y transformar el mundo, del que cada uno de nosotros es parte.
Es
indispensable generar en los educan dos el compromiso y amor por aprender, en
esto los y las docentes jugamos un papel fundamental. En nuestro caso
particular, si bien es cierto que en algunos momentos nos equivocábamos en la
forma de guiar el proceso de enseñanza-aprendizaje, tal como lo expresa el
estudiante 2, nos agrada saber que los estudiantes no se detuvieron en su
responsabilidad de aprender, lo cual se evidencia en la cita [2:16] [170] del
Estudiante 2, quien comenta: dije, ‘tenlo por seguro que ésta no se la paso,
ya va a ver lo que voy a hacer, le voy a estudiar hasta lo que no vimos para
que quede boquiabierto’ y continúa diciendo, en la cita [2:14] [174], que me
la descobré, le hice la exposición bien, le dije hasta lo que no estudiamos. Y
dijo que estaba bien.
Algunos dirán que la motivación del estudiante por
aprender se origina en un sentimiento de revancha contra el profesor, pero nos
atrevemos a asegurar, apoyados en todas las citas presentadas y en los
documentos completos que reflejan las opiniones del Estudiante 2, que este
estilo de escribir es una forma de expresar su compromiso con todas las
actividades del proyecto, sus compañeras, compañeros y docente.
Conclusiones
A continuación presentamos un
conjunto de consideraciones finales que pretenden dar cuenta de los hallazgos
de este estudio. Esperamos que, a partir de ellos, se continúe desarrollando
otras investigaciones que permitan la transformación del proceso de enseñanza-aprendizaje
de la matemática correspondiente al nivel de educación media.
Aprendizajes vinculados con el concepto de función: las
y los estudiantes, a partir de la necesidad que tienen de conocer las
características de las situaciones planteadas en cada uno de los proyectos, por
ejemplo el comportamiento que tiene el consumo de energía en su hogar,
comienzan a generar representaciones, procedimientos e ideas matemáticas de
manera contextualizada e intencional. De esta forma, cuestiones como
representar gráficamente funciones, calcular la distancia entre dos puntos o
determinar el punto medio de un segmento no son el resultado de un
procedimiento mecánico.
Los educandos hacen uso de diferentes
representaciones gráficas, tales como la descripción verbal, la tabla de
valores, el diagrama de Venn, el gráfico cartesiano y las formulas o
ecuaciones, para interpretarla situación planteada pero, además, las diversas
representaciones permiten visualizar las características del concepto.
A lo largo
de desarrollo del proyecto La energía en
la casa, los estudiantes se dan cuenta de la necesidad de utilizar
procedimientos matemáticos que les permitan ir analizando la situación no
matemática, el contexto extra-matemático funciona como una forma de
representación de los conceptos matemáticos.
Papel
del estudiante: a medida que el desarrollo de los proyectos avanzaba, el grado
de compromiso de los y las estudiantes era mayor, ellos y ellas se
convirtieron, cada vez más, en los protagonistas de las experiencias de
aprendizaje, aportaban ideas relacionadas con el tema abordado y, aunque
existieron ciertas dificultades, se preocupaban por tener los materiales
necesarios para el desarrollo de las actividades. A pesar de la poca tradición
de trabajar en equipo, colaboraban entre si durante el desarrollo de cada uno
de los proyectos, lo que no significó que alguien realizara el trabajo correspondiente
a otro compañero o compañera.
También
lograron superar la barrera impuesta por
nuestra educación, el no confrontar con argumentos los excesos y las faltas del
profesor. En una educación democrática y participativa, los y las estudiantes
tienen derecho a enfrentar cualquier instancia de poder que vulnere sus
derechos.
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