Nos deja un Buen Educador Matemático

Se nos fue Cipriano Cruz (Q.E.P.D.)

La Junta Directiva Nacional de la ASOVEMAT, cumple con el penoso deber de comunicar que en la noche del 28 de abril de 2012, falleció nuestro compañero CIPRIANO CRUZ (Q.E.P.D.)

Lamentamos profundamente la pérdida de este extraordinario educador matemático quien, como lo describe Cecilia Tirapegui, una de sus más entrañables colegas, “él no aceptaba fronteras ni individualismos: hacer las cosas bien porque es la única forma de hacerlas, y apoyando a quien quiera progresar en esta tarea nuestra...”

Los aportes de Cipriano a la Consolidación de la Educación Matemática en Venezuela son innumerables; desde su llegada a nuestro país (proveniente de su Amado Chile) se arraigó en nuestro suelo y prodigó su sabiduría a muchos de nosotros, quienes fuimos y seremos sus discípulos por siempre; su don de gente, su amabilidad, su sencillez, su disposición permanente de dar todo lo mejor de si, son un digno ejemplo a seguir por todos nosotros.

En 1998 tuvo responsabilidad principalísima en el desenvolvimiento del III Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, el segundo evento en nuestra disciplina, de magnitud internacional que se ha llevado a cabo en Venezuela.

Ser fieles al ejemplo de Cipriano, será nuestro mejor homenaje.

Junta Directiva Nacional de la ASOVEMAT.

Homenaje de Cecilia Tirapegui

“él no aceptaba fronteras ni individualismos: hacer asl cosas bien porque es la única forma de hacerlas, y apoyando a quien quiera progresar en esta tarea nuestra...”

Cipriano fue lo más próximo a un hermano (los dos míos están tan lejos), junto con Cacorto (Cortínez), fuimos compañeros en la Facultad de Ciencias y la de Educación a la que pertenecía nuestra carrera, Carlos nos llevaba un año, y fue el preparador (ayudante se decía allá) de Planimetría (Geometría Euclides del plano, del espacio era otra asignatura previa, estoy hablando de 1965....). Ese año  era el cuarto de nuestra carrera, la mayoría de las asignaturas eran en Educación, múltiples cursos con tantos profesores, no coincidimos, pero Metodología de la enseñanza de las Matemáticas, Planimetría y Cosmografía, sí las hicimos juntos.  Ese año yo venía trasladada desde Valparaíso, (por mi matrimonio reciente debí cambiar de sede).  Fue bastante poco lo que compartimos, (yo me dediqué a mi beba, y él se fue a Buenos Aires a hacer postgrado), pero al encontrarnos de nuevo en 1987, en el segundo encuentro de los que organizaba Lelis Páez en la facultad de Ciencias de la UCV, que me llegó por la espalda el abrazo de Cipriano... cuándo me iba a imaginar hallarlo así, si bien sabía que estaba acá: ya me había puesto en contacto con el amigo Cacorto.... En fin, ese mundo de la capital me fue tan necesario, estando radicada tan lejos de todo... pero aprendí mucho de su sencillez, su entrega a la educación matemática de calidad, su desapego y dedicación al apoyarme en la maestría que dictamos acá en convenio con la UPEL... siendo Cipriano ajeno a las dos universidades, pero él no aceptaba fronteras ni individualismos: hacer así cosas bien porque es la única forma de hacerlas, y apoyando a quien quiera progresar en esta tarea nuestra...

Un abrazo, Cecilia

Un saludo, Cecilia

Tomado de la página de la Junta Directiva Nacional de ASOVEMAT (http://asovemat-jdn.blogspot.com/2012/04/se-nos-fue-cipriano-cruz-qepd.html)

La enseñanza por “complejos” en los libros de pedagogía

Artículos para el debate Pedagógico

La enseñanza por “complejos” en los libros de pedagogía

Autor: Julio Mosquera

Fecha de publicación: 01/02/12

En un artículo anterior introduje algunas consideraciones en torno a la enseñanza por complejos (ver: http://www.leeryescribirconmat.blogspot.com/2012/01/ensenanza-por-complejos-alternativa.html). En el presente artículo me referiré a la manera en que esa propuesta pedagógica revolucionaria es tratada en los libros de pedagogía en español. Es oportuno señalar que la mayoría de los autores de libros de pedagogía ignora completamente este método, bien sea por ignorancia o por razones ideológicas. En los libros recientes, de la última década, de pedagogía publicados en español no se mencionan los complejos, es más se ignora por completo la contribución pedagógica de las repúblicas que experimentaron con el socialismo en el siglo XX. Dada las escasas referencias a este método en los libros de pedagogía, decidimos incluir en nuestra selección algunos artículos aparecidos en revistas de educación. Por ejemplo, el artículo de García Hurtado que apareció en la revista Educación que publicaba nuestro entonces Ministerio de Educación. Recordemos que es tan importante identificar lo que se silencia, lo que no se menciona en los libros de pedagogía como aquello que sí se menciona.

La primera referencia en español que he encontrado en la que se mencionan los “complejos rusos”, es el artículo de García Hurtado publicado en la revista Educación en 1946. Me refiero a la revista Educación publicada por nuestro entonces Ministerio de Educación. Este artículo de García Hurtado (1946) trata sobre la globalización de la enseñanza, en la segunda parte del mismo presenta una muy breve descripción de los “complejos rusos”. García Hurtado no comenta esta propuesta pedagógica y nos remite al libro de Pinkevich titulado “La Nueva Educación en la Rusia Soviética”.

Luzuriaga fue un prolífico escritor y compilador de obras de pedagogía. Este pedagogo argentino jugó un papel muy importante en la diseminación de las ideas de la Escuela Nueva, en especial el enfoque estadounidense, en nuestro continente. Muchas de sus obras reposan en las bibliotecas de nuestras escuelas de educación y se consiguen en ventas de libros usados. En dos de sus obras, Luzuriaga (1961, 1967) hace referencia a la enseñanza por complejos que se desarrolló en la extinta Unión Soviética.

Luzuriaga (1961) señala que “La historia de la educación en Rusia ha seguido el mismo proceso que la de los países occidentales, aunque con una marcha más lenta y retrasada. (…)” (p. 225). En este marco, “[l]a revolución bolchevique de 1917 trató de remediar esta situación por una serie de medidas apresuradas, con las que aspiraba introducir algunas de las ideas más avanzadas de la pedagogía contemporánea. (Luzuriaga, 1961, p. 225). En otra de sus obras, publicada años más tarde, Luzuriaga afirma que: “(…) Rusia, [en 1917], se encontró así desprovista del instrumental pedagógico más elemental, y tuvo que improvisarlo todo (…)” (Luzuriaga, 1967, p. 147). Reconoce Luzuriaga (1967) que esta primera etapa de la Revolución Bolchevique se caracteriza, en lo pedagógico, “por ser el período de los ensayos y tanteos con grandes dificultades de orden económico para llevarlos a cabo (…)” (p. 148). Es en ese contexto donde surge y se lleva a la práctica el método de complejos.

Para Luzuriaga (1967), “(…) el “método de complejos”, que como se sabe es una fusión de los centros de interés y del método de proyectos, con una inspiración de carácter social y político. La base del método es siempre el trabajo, en relación con las fuerzas de naturaleza y de la sociedad, pero en una forma fija, con programas de temas y actividades previamente señaladas por la maestra. (…)” (p. 149). Luzuriaga no hace referencia a ninguna obra en particular sobre la enseñanza por complejos, no señala explícitamente de dónde obtuvo la información sobre los complejos.

Otro pedagogo que hace referencia en su trabajo a la enseñanza por complejos es Planchard (1969). Para este autor, “En cuanto a los métodos empleados en las escuelas rusas no presentan gran originalidad; los han tomado sobre todo de otros países, especialmente de América [se refiere a los Estados Unidos]. (…)” (p. 424). Al igual que Luzuriaga, Planchad no hace referencia a fuente bibliográfica alguna. No nos presenta ningún ejemplo o razonamiento que justifique su afirmación sobre la falta de originalidad de la enseñanza por complejos.

Otro pedagogo conocido en nuestras escuelas de educación que menciona la enseñanza por complejos en uno de sus libros es Larroyo (1976). Resalta este autor que: “El trabajo productivo es la base de todo el centro de interés en torno del cual se organiza la enseñanza. Ahora bien, como el trabajo ha tomado, gracias al desenvolvimiento de la industria, una forma colectiva, la enseñanza deberá tener asimismo un eminente carácter socializador y estar al servicio de la solidaridad de clase. El “método de los complejos” quedó establecido desde 1922” (Larroyo, 1976, p. 744). Vemos en esta cita que Larroyo solo hace referencia al método y enfatiza su fundamentación en el trabajo productivo. Lo cual es tomado del enfoque marxista-leninista que le sirvió de fundamento a la pedagogía soviética.

Siguiendo la misma línea trazada por Larroyo, Palacios (1978) menciona el método de los “complejos” en una sección de su libro dedicada a la escuela del trabajo de Blonskij, en especial lo caracteriza como uno de los principios pedagógicos básicos. Señala Palacios (1978) lo siguiente: “(…) Puesto que para Blonskij la vida en su plenitud se circunscribe a la comuna y a la fábrica, en la economía y en la vida social, estas unidades se le deben ofrecer al niño como totalidades, como “complejos”. Cada uno de los dominios de la vida señalada debe ser un complejo del cual debe partir la enseñanza (…)” (p. 388). Palacios no compara este método con ningún otro de la escuela nueva ni emite juicios de valor sobre el mismo.

Una revisión exhaustiva de un gran número de libros de pedagogía (educación, currículo, etc.) publicados en español, además de una búsqueda en la web, nos revela que la enseñanza por complejos ha sido sistemáticamente silenciada por los autores de dichos libros, y, en los pocos casos en que es mencionada, es tratada muy brevemente y además es desvalorizada como contribución original a la pedagogía. Nada de eso es casual, aún cuando los autores de los libros de pedagogía no actúen conscientemente. Se trata del predominio de una ideología, de la hegemonía de la perspectiva pedagógica que le sirve al capital. También hay que considerar la poca información que hay en español disponible con facilidad sobre la enseñanza por complejos.

La enseñanza por complejos, o temas complejos, aparece en la literatura de pedagogía en español básicamente tratada en el contexto de la globalización de la enseñanza o de la educación para/en el trabajo. En ambos casos, los autores suelen restarle importancia a la enseñanza por complejos y la reducen a una versión de la enseñanza por proyectos. Incluso como una copia de las propuestas de la Escuela Nueva estadounidense. No encontramos en ninguno de estos libros una descripción detallada de la enseñanza por complejos. Mientras que si se explican con detalles otras propuestas como los centros de interés de Decroly o la enseñanza por proyectos tal como la promovió Kilpatrick. Este tratamiento desigual de estas propuestas pedagógicas no es casual. Como dije más arriba, esta es parte del control hegemónico de la clase dominante sobre el pensamiento pedagógico en nuestros países. Una de las tareas para contrarrestar esa hegemonía es la de rescatar las propuestas pedagógicas revolucionarias, estudiarlas a fondo, aprender de ellas y tomar todo lo que nos sea de utilidad para resolver los problemas educativos que enfrentamos hoy en día, en el contexto revolucionario actual.

En un próximo artículo trataré con más detalle la enseñanza por complejos o temas complejos. En particular presentaré dos ejemplos. El caso de Jesualdo Sosa, educador uruguayo, quien incorporó la enseñanza por complejos a su propuesta pedagógica. Y el caso de la adopción de la enseñanza por complejos en la educación socialista propuesta en tiempos de Cárdenas en México.

Referencias

GARCÍA HURTADO, Raúl (1946). La globalización como principio educativo (Conclusión). Educación, 6(41), 52-65.

LARROYO (1976). Historia general de la pedagogía (13ª edición). México: Porrúa.

LUZURIAGA, Lorenzo (1961). Historia de la educación y de la pedagogía. Buenos Aires: Losada.

LUZURIAGA, Lorenzo (1967). La educación nueva (Octava edición). Buenos Aires: Losada.

PALACIOS, Jesús (1978). La cuestión escolar: Críticas y alternativas. Barcelona: Laia.

PLANCHARD, Emile (1969). La pedagogía contemporánea (Víctor Gracía Hoz, Trad.). México: Rialp.

julio_mosquera@hotmail.com

[Tomado de: http://www.aporrea.org/educacion/a137792.html]

Enseñanza por complejos: ¿Alternativa revolucionaria a la enseñanza por proyectos? (I)

Autor: Julio Mosquera
Fecha de publicación: 12/01/12

Este artículo es el primero de una serie en la que presentaré la enseñanza por complejos o método de complejos, la cual fue desarrollada en los primeros años de la Revolución rusa de 1917. Esta propuesta no tiene nada que ver con el llamado “paradigma complejo” tan en boga en nuestras universidades hoy en día. La enseñanza por complejos surge como respuesta revolucionaria a la escuela zarista. Los revolucionarios que lideraron la batalla que llevó al derrocamiento del régimen zarista y al inicio de la primera nación socialista, tenían bien claro que una de sus primeras tareas era transformar desde sus raíces la educación que heredaban del sistema que habían derrotado. No sería posible formar a las niñas y niñas para el futuro socialismo bajo los esquemas educativos que le servían a la clase dominante derrotada. Además, la llegada al poder de los comunistas creó un clima favorable a la experimentación en educación. La destrucción del capitalismo incipiente de la Rusia de principios del siglo XX y el establecimiento de las bases para la construcción del socialismo requería de mucho ingenio. Eran años sumamente interesantes.

También en los países capitalistas se cuestionaba, a principios del siglo XX, la llamada escuela tradicional. El surgimiento y posicionamiento de los Estados Unidos en la escena económica mundial exigía a ellos mismos y, principalmente, a Europa enfrentar nuevos retos. Esa nueva fase de desarrollo en la que entraba el capitalismo requería de acomodos y reformas en los países capitalistas. La educación no podía quedar fuera de la influencia de esas nuevas exigencias. Una creciente clase media exigía acceso a la educación, la industrialización en aumento vertiginoso necesitaba de más y más mano de obra entrenada en conocimientos y habilidades básicas. Esta realidad, llevó al cuestionamiento de la llamada enseñanza tradicional y a la elaboración de propuestas alternativas. Fue en ese contexto que surgió la Escuela Nueva, como respuesta a las nuevas demandas educativas del capitalismo y de la democracia capitalista. Recordemos que el capitalismo puede funcionar perfectamente sin democracia, por ejemplo tenemos el caso del fascismo en Europa y su papel en el desarrollo del capitalismo en ese continente. Digamos pues que, el desarrollo del capitalismo a principios del siglo XX llenó de entusiasmo a muchos por la democracia, claro está como ideal.

Tenemos así que en las primeras décadas del siglo pasado había condiciones materiales que exigían cambios en la educación, por tanto, se facilitaba la experimentación y la búsqueda de alternativas a la educación tradicional del momento. Como señalé anteriormente, en el marco de esa nueva etapa del desarrollo del capitalismo, surgen una serie de propuestas de enseñanza agrupadas bajo la expresión “Escuela Nueva”. Algunas de esas propuestas no eran realmente tan nuevas, como es el caso del método de proyectos o enseñanza por proyectos. Fue en los Estados Unidos donde la enseñanza por proyectos o método de proyecto tomó auge, fue significativa la publicación del artículo de William H. Kilpatrick titulado “The Project method” en 1918. Otra propuesta pedagógica muy influyente en la época, y aún hoy en día, es la enseñanza basada en problemas propuesta por John Dewey. Quien por cierto se distanció de la propuesta de Kilpatrick, la cual incluso criticó abiertamente.

Al otro lado del atlántico también se realizaban propuestas de reforma de los métodos de enseñanza. Cobra relevancia el principio según el cual las niñas y los niños deberían estar en el centro de la enseñanza. Incluso se llegó a crear una asociación internacional en la que se agrupaban educadores de toda Europa y de otros países a favor de los nuevos métodos de enseñanza.

En la Rusia de 1917, la situación educativa de la población era lamentable, estaba muy por debajo de la de muchos países europeos. La mayoría de la población vivía en el campo, en condiciones deplorables, y la tasa de analfabetismo era altísima. Contra ese panorama contrastaba una élite muy bien educada, formada por destacados escritores y científicos. Una vez que los bolcheviques toman el poder, se proponen revertir ese panorama educativo. Una de sus principales metas fue erradicar el analfabetismo, a la par de garantizar el acceso de todas y todos a la educación. El gobierno revolucionario se propuso ofrecer educación gratuita y alimentación para todas y todas. Esos retos significaban que deberían introducirse cambios importantes en la pedagogía, ya no se trataba de educar una élite. En lo cual había sido exitosa la enseñanza tradicional, sobre todo la basada en tutores privados. Se trataba ahora de abrir miles de escuelas con sus puertas abiertas a cientos de miles de estudiantes. Además, se trataba de una escuela fundada en otros principios, diferentes de los de la escuela zarista y de los de la escuela capitalista. Estos principios estarían orientados por la visión marxista de la sociedad y de la educación. Es así como el trabajo, no reducido al trabajo manual, se convierte en el elemento central de la educación. Recordemos el trabajo de Engels sobre el papel del trabajo de la transformación del mono en ser humano. El trabajo es mucho más que un método o un complemento a la enseñanza. En el trabajo el ser humano se construye a sí mismo, está pues considerado como proceso que produce al ser humano.

Teniendo el trabajo como centro, es propuesto el “método de los complejos” o de la “enseñanza por complejos”. Este método es ocultado por la mayoría de los pedagogos de la derecha, difícilmente encontrará usted mención a este método en los libros de pedagogía que predominan en nuestras escuelas de educación. Y aquellos pedagogos de la derecha que lo mencionan, han pretendido presentarlo como una simple adaptación del método de proyecto de Kilpatrick o la combinación de varias propuestas metodológicas de la Escuela Nueva. Punto de vista que el propio John Dewey desmiente en un libro donde relata sus impresiones de un viaje que realizó a Rusia, en los primeros años del gobierno revolucionario.

La propuesta pedagógica revolucionaria, puesta en marcha oficialmente a partir de 1922, propuso la sustitución de la tradicional enseñanza basada en materias por “complejos” de ideas o fenómenos. Un complejo era un asunto o problema que es considerado de importancia por su valor educativo. Como ya dije en el párrafo anterior, el trabajo estaba en el centro de la educación, se partía del estudio de las fuerzas productivas y de las relaciones sociales que surgían de las formas particulares en que se organizaba el trabajo.

Para organizar la enseñanza se asumía como esquema fundamental la triada: Naturaleza, Trabajo y Sociedad. Se comenzaba por analizar las formas del trabajo en la comunidad donde se encuentra la escuela. Las y los profesores, las y los estudiantes tenían que estudiar las diversas formas del trabajo productivo en su comunidad. Manteniendo la atención en el trabajo humano como tema esencial. Tomando como partida el trabajo en la comunidad, se estudiaba el trabajo en la región y luego en toda la nación. De allí que era muy importante que las y los profesores estuvieran familiarizados con los planes de desarrollo, introducidos por el gobierno revolucionario para la construcción del socialismo. Se pasaba luego a la última componente de la triada: la Sociedad. Entendida esta como la infraestructura, según la interpretación marxista. Por último, se continúa trabajando con el primer componente de la triada: la Naturaleza. De esta manera se organizaba el currículo. Por ahora, no entraré en más detalles sobre la enseñanza por complejos. En otros artículos presentaré incluso ejemplos de complejos.

La enseñanza por complejos no fue recibida positivamente por todas y todos los educadores. En parte porque demandaba de mucho trabajo de parte de estos. Las autoridades educativas se vieron en la necesidad de introducir algunas modificaciones en el método para logar su viabilidad en las escuelas. El conocido psicólogo soviético Lev Vigotski manifestó su desacuerdo con la enseñanza por complejos, muy brevemente en su libro Pensamiento y Lenguaje. Este método fue finalmente abandonado oficialmente a mediados de la década de 1930.

Como he señalado en otras oportunidades, en nuestras escuelas de educación no se estudia la pedagogía o las propuestas pedagógicas desarrolladas en contextos revolucionarios. En estas escuelas todavía predomina la ideología de la clase dominante. Esas propuestas pedagógicas o son completamente silenciadas o son presentadas de manera anecdótica y la mayoría de las veces distorsionada. No nos tiene que extrañar entonces que entre nuestras educadoras y educadores sea muy conocida y apreciada la enseñanza basada en proyectos, mientras se ignore la enseñanza por complejos. Las educadoras y educadores que tenemos algún compromiso con la revolución tenemos ante nosotros el reto de revertir esa situación. De interesar a nuestras y nuestros estudiantes de educación por el estudio de la pedagogía revolucionaria. Invitar a nuestras y nuestros estudiantes a comparar y contrastar las prácticas y políticas educativas de la derecha con las prácticas y políticas revolucionarias. Llamar la atención sobre la enseñanza por complejos es un intento en esa dirección.

Mi respuesta a la pregunta planteada en el título es positiva. Afirmo pues que la enseñanza por complejos es una alternativa revolucionaria a la enseñanza por proyectos o basada en proyectos. Dedicaré el próximo artículo a la manera en que la enseñanza por complejos ha sido tratada en los libros de pedagogía en español y su receptividad en algunos de los países de Nuestra América. Luego presentaré en detalle la enseñanza por complejos. Y por último, haré unas consideraciones de este método de enseñanza comparado con la enseñanza por proyectos.

julio_mosquera@hotmail.com
julio.mosquera.padron@gmail.com

Tomado de: http://www.aporrea.org/educacion/a136737.html

Esbozo Histórico de la Simbología Matemática (Parte I y II) (*)

Walter Beyer

Universidad Nacional Abierta

El desarrollo histórico de símbolos especiales para denotar objetos, relaciones y estructuras matemáticas siguió un largo camino. El caso del álgebra, la cual pasó por tres etapas bien diferenciadas: álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra simbólica, es una buena muestra de ello.

Esta evolución del álgebra tiene similitud con la de la escritura: desde la escritura pictórica, pasando por la escritura pictográfica-ideográfica y la fonética hasta llegar a la escritura alfabética.

Es curioso, pero el desarrollo de los numerales indo-arábigos guarda una estrecha similitud con el de la escritura. Esto no es totalmente casual ya que los alfabetos fueron empleados por diferentes culturas, en determinados momentos, para simbolizar a los números.

Johann Widman (1460?-1500) fue el primero en usar, en 1489, los símbolos en un texto impreso, los cuales fueron popularizados por Michael Stifel (1487-1567). Ya dichos símbolos habían sido usados con anterioridad en algunos manuscritos. Se supone que el símbolo “+” es una contracción de la palabra latina “et”.

Por otra parte, Recorde inventó nuestro actual símbolo de igualdad el cual aparece, por vez primera, en su obra Whetstone of Witte (1557). Tal vez, la preferencia de Leibniz por el símbolo “=” sobre otros símbolos rivales cambió el fiel de la balanza a favor de su utilización.

Otros símbolos de uso común, los signos de desigualdad: < y >, aparecieron por vez primera en el libro Artis Analyticae Praxis, obra publicada en 1631, diez años después de la muerte de su autor, el matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621). Estos símbolos se impusieron sobre otros que se usaban para esos fines, entre ellos unos debidos a William Oughtred (1575-1660) y que aparecieron impresos por primera vez en 1647. Oughtred usó los signos de desigualdad propuestos por Harriot. Por su parte se le debe al matemático francés Bouguer en 1734 la introducción de los símbolos < y >.

A Oughtred se le atribuye el uso de una equis pequeña “x” para indicar la operación de multiplicación, en lugar de una equis grande que ya era usada con esa finalidad y cuyo origen no se conoce con exactitud.

En lo relativo al símbolo “ / ”, éste parece que ya era usado por los comerciantes lombardos con el significado de 1/2; tuvo un amplio uso como símbolo de sustracción, y finalmente fue propuesto por el suizo Johann Rahn (1622-1676) como símbolo de división, apareciendo impreso por primera vez con este sentido en su obra Teutsche Algebra, en 1659. Este signo fue ampliamente adoptado en Inglaterra, mientras que los matemáticos continentales preferían el signo “:”. Para la división larga Stifel empleó en 1544 el símbolo “)”, mientras que Oughtred escribía 8)24(3 para la división de 24 entre 3.

Un hito en la simbolización matemática lo constituye la invención del cero por parte de los hindúes. Lo indicaban mediante un punto y su conocimiento llegó a Europa por intermedio de los árabes.

Independientemente, este invento fue hecho por la civilización Maya siendo empleado en su sistema de numeración posicional de base 20.

Por su parte el desarrollo del álgebra ha tenido sus avances y retrocesos: avances como el uso del álgebra sincopada por parte de los hindúes y de Diofanto; retroceso con los árabes que retornaron, prácticamente, al álgebra retórica. Un avance lo constituyó el uso del símbolo 

para las fracciones, dándose marcha atrás al usar -por razones tipográficas- el símbolo a/b.

En este ir y venir aparecen los numerales indo-arábigos introducidos en Europa por los árabes y difundidos ampliamente por Leonardo de Pisa "Fibonacci" (1175-1250 ?) a través de su obra Liber Abaci.

Respecto del punto decimal Kasner y Newman le atribuyen a Napier su invención; mientras que otros autores le conceden el crédito a Stevin e incluso hay el que dice que es a Leibniz a quien se le debe esta notación.

Descartes en 1637 resolvió el problema de escribir potencias al usar x, xx, x³, x⁴, x⁵, ... (obsérvese que siguió escribiendo xx en lugar de x². Gauss mantuvo esta costumbre porque ambas formas ocupan el mismo espacio: dos caracteres). Esta notación se perfecciona en 1655 con Wallis quien escribe x^-n para denotar 1/xⁿ y x^1/n para representar 

Euler (1707-1783) emplea en 1731 en una carta dirigida a Goldbach el símbolo e -inicial de la palabra exponencial- para denotar la base de los logaritmos neperianos, apareciendo impreso este símbolo por vez primera en su obra Mechanica en 1736. Asimismo, se le debe a este insigne matemático la introducción, en 1777, de la letra i para simbolizar a la unidad imaginaria, aunque con anterioridad la usara para simbolizar el infinito. Este símbolo fue adoptado por Gauss quien lo difundió.

En este proceso surge el uso del símbolo π -inicial de la palabra griega perimetroz (perímetro)- para denotar la razón constante entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. William Jones (1675-1749) parece ser que fue el primero en usarlo con ese fin. Sin embargo fue Euler quien lo adoptó en 1737 y popularizó su uso.

Cabe destacar que la invención de la imprenta de tipos móviles por Gutenberg en 1440 ejerció un impacto significativo sobre la evolución del simbolismo matemático: por una parte lo estandarizó y por otra parte se convirtió en una especie de "camisa de fuerza" para la inventiva y la creatividad al negarse los impresores -en determinados momentos- a crear tipos especiales para satisfacer el deseo de los matemáticos.

Algo semejante a lo señalado en el párrafo anterior pudiera estar ocurriendo hoy día con el impacto que tiene el ordenador sobre todas las áreas de la sociedad actual -impacto ampliamente explicado por autores como Alvin Toffler en su "Tercera Ola"- el cual tiene sus inmediatas repercusiones en la notación matemática.

Una consecuencia, que salta a la vista, es el hoy difundido uso -en los países hispanohablantes- del punto decimal en lugar de la coma decimal como era costumbre, uso que ha sido potenciado por la masiva utilización de las calculadoras de bolsillo.

(*) Este artículo fue publicado en dos partes por el Boletin EM de ASOVEMAT – RC en el año 1 996. La primera parte en el N° 1 de enero de 1 996 y la segunda parte en el N° 2 de febrero de 1 996

Una experiencia de negociación de significados (*)

 

Ángel Míguez

Universidad Nacional Abierta

Al diseñar las actividades de aprendizaje para los Números Enteros en 7° grado de Educación Básica (12 años aproximadamente) Míguez y Becerra (1 988) partían, en forma empírica, de una de las fuentes de error de los alumnos al realizar las operaciones con números enteros, a saber, la confusión que se presentaba con el uso de los símbolos ‘más’ (+) y ‘menos’ (-) para indicar el signo del número y la introducción de los números negativos en las operaciones de adición y sustracción.

Partiendo de que las convenciones y los convenios que se usan en la clase de matemática no deben ser contradictorios con los de esta ciencia se propuso un conjunto de actividades que permitieran la construcción de un significado común para el símbolo + (cruz) y el símbolo – (guión); pero cuando decimos ‘en común’, el proceso se guió de la siguiente manera, primero debería surgir un acuerdo entre los estudiantes en las discusiones desarrolladas y al final se apelaba al carácter universal de los símbolos matemáticos para asumir el acuerdo definitivo.

La experiencia planteaba situaciones plausibles, que eran susceptibles de simbolización: calor-frío, altura-profundidad, aumentar-disminuir, subir-bajar, crédito-débito. Primero se les pidió a los estudiantes que crearan un símbolo para cada una de las situaciones, luego se les pidió que acordaran un símbolo para cada una de las situaciones, para finalizar se les solicitó crear un símbolo único para usarlo en las cinco situaciones planteadas. En cuatro de las seis aulas se llegó al acuerdo de usar la cruz y el guión, la cruz para temperaturas calientes, alturas, aumentar de peso, subir pisos, tener dinero y el guión para las temperaturas frías, profundidades, disminuir de peso, bajar pisos, deber dinero.

Todas las situaciones usaban números acompañados del símbolo correspondiente a cada situación planteada. Por ejemplo: +3 pisos, para indicar que se subieran tres pisos; -10 Kg., para indicar que se disminuyeran diez kilogramos. Una vez alcanzados los acuerdos se presentaron los números positivos como los asociados a temperaturas calientes, alturas, aumentar de peso, subir pisos, tener dinero y los números negativos como aquellos asociados a las temperaturas frías, profundidades, disminuir de peso, bajar pisos, deber dinero, señalando que al igual que en los casos estudiados, la matemática usa los números positivos (la cruz asociada al numeral) y negativos (el guión asociado al numeral) para referirse a situaciones similares a las anteriores y de forma abstracta.

En las aulas en las que los acuerdos eran distintos a la cruz y al guión, basándonos en el hecho de que el proceso de comunicación se apoya en la negociación y los significados compartidos, se apeló a la “universalidad” de la matemática correspondiente a los símbolos que se utilizan para matematizar situaciones como las planteadas. La transición fue aceptada, aunque no se dejó de criticar, por parte de los estudiantes, lo conveniente que resultaban, para las situaciones estudiadas, los símbolos escogidos por ellos.

Asumiendo que el profesor y el estudiante constituyen interactivamente la cultura del aula y que cada vez que se actúa sobre un objeto se utiliza un proceso interpretativo, se procedió a la enseñanza de las operaciones básicas, bajo la pauta de partir del conocimiento que el estudiante trae de las mismas con los números naturales, se introduce la regla de los signos y sin omitir ningún signo se procede a diferenciar los dos significados que adquieren la cruz y el guión haciendo un paralelismo con la palabras polisémicas en el castellano.

Esto permitió negociar con los estudiantes cuando una cruz indica el signo de un número o cuando indica la operación de adición. De igual manera, se procedió con el guión. Se evitaron, al principio, cualquier tipo de simplificación en la escritura de las sumas algebraicas. Por ejemplo, al escribir una suma algebraica se procedió a hacerlo así:

(+3) + (+9) – (+15) – (-5) + (-34) + (7) – (+13) =

en vez de:

3 + 9 – 15 – (-5) + (-34) + 7 – 13 =

Una vez dominado el algoritmo para el desarrollo de esta operación se apeló de nuevo a la “universalidad” de la matemática y a la necesidad de simplificar la simbología escrita, realmente se efectuaban largas e interminables sesiones de ejercitación sin obviar ningún símbolo. Porque el significado se desarrolla en la interacción e interpretación entre los miembros de una cultura, (Godino y Llinares, 2 000, pág. 3) y se aceptó que un número que no posea un símbolo que indique su signo se asume que es positivo.

Cada nuevo significado, se negociaba después de un conjunto de acciones, que en nuestro caso era la ejercitación, los significados surgían así en el contexto de los ejercicios de matemática.

La práctica desarrollada no sólo planteaba la negociación de los significados con los estudiantes, sino que se planteaba no presentar caminos abreviados que no surgieran de una necesidad compartida de abreviar o de una adecuación a la simbología más usual en los libros de matemática, incluyendo los libros de texto.

Este procedimiento permitió mejorar el rendimiento de los estudiantes en la resolución de ejercicios no contextualizados de operaciones con números enteros.

(*) Este fragmento es del artículo: “El Aula, Los Alumnos y El Profesor de Matemáticas” publicado en: Enseñanza de la Matemática, Vol. 11, N° 1, 2 003, pp 3-9

Polisemia de los símbolos matemáticos

Debe enseñarse explícitamente el significado y uso de los símbolos matemáticos

Polisemia de los símbolos matemáticos

La matemática se hizo simbólica, se llenó de símbolos a medida que más se estudiaba y se difundía su conocimiento en el mundo. 

Son muchos los matemáticos y filósofos que por siglos usaron los más variados símbolos para comunicarse en geometría, astronomía, matemáticas. No viene al caso los intríngulis y el devenir de cada uno de los símbolos, lo que si debemos reconocer es que el camino fue arduo y su lentitud perjudicó en mucho el desarrollo de esta ciencia.

Hoy día la Matemática se nos presenta como es, con una simbología aceptada universalmente, sobre todo en aquella matemática que se espera que conozcan y operen los niños y jóvenes en la escuela.

Se hace necesaria, pues, la buena enseñanza de la simbología matemática con miras a la formación de un ciudadano que pueda acceder a cualquier profesión con un conocimiento básico, elemental de la ciencia de las cantidades, las formas, los patrones y la incertidumbre.

Es necesario que nuestros estudiantes conozcan el uso y significado de cada uno de los símbolos que usamos en matemáticas para hacerlo de manera apropiada y en cada caso saber distinguir un significado de otro.

¿Por qué es importante esto? El conocer y comprender el uso y significado de los símbolos matemáticos

Si la cruz (+) es más, el uno (1) es el número que representa un objeto, la equis (x) es multiplicación y así sucesivamente…

Veamos qué sucede, al igual que en nuestro lenguaje (el castellano) con las palabras, en la matemática existen símbolos que tienen varios significados.

Las palabras polisémicas son aquellas palabras que tienen varios significados distintos, veamos:

SIERRA	Herramienta que se usa para cortar madera
	Cadena de montañas y picos ubicados en una región
REGLA	Instrumento usado para la medición
	Norma que debe seguirse en una institución, en alguna disciplina
OJO	Órgano del cuerpo usado para detectar la luz y ver
	Orificio de la aguja en la se enhebra el hilo para coser

Igual sucede en Matemáticas

+	Símbolo que indica la operación de adición [2 + 3 = 5]
	Símbolo que indica que el número es positivo
-	Símbolo que indica la operación de sustracción [5 - 3 = 2]
	Símbolo que indica que el número es negativo
x	Símbolo que indica la operación de multiplicación [2 x 3 = 6]
	Símbolo que indica que el valor de la incógnita en la ecuación [x + 3 = 5, x = 2]

¿Cuáles símbolos matemáticos tienen que usar los alumnos al estudiar matemáticas?

+  x  /  =  >  <  :  %

Se debe discutir en clase los significados que los alumnos conocen de estos símbolos usados en la matemática y, en algunos casos, el uso que se le da en nuestra lengua materna.

De ahora en adelante en cada una de las clases, el profesor de matemáticas debe preguntar y discutir el significado de cada uno de los signos y símbolos que se usan en la misma.

Ellos tienen derecho a comprender la matemática, su forma de escritura y comunicación escrita.

Recomiendo la lectura del siguiente artículo en relación con este tema y la negociación de significados en el Aula de Matemática: Míguez, Á. (2 002). El Aula, los Alumnos y el Profesor de Matemática. Enseñanza de la Matemática, 11(1): 3-9