Tipos de Enunciados usados para Enseñar Operaciones Aritméticas en la Primera y Segunda Etapa de Educación Básica

XXI Reunión Latinoamericana de

Matemática Educativa

Maracaibo – Venezuela 22 al 26 – julio – 2 007

Tipos de Enunciados usados para Enseñar Operaciones Aritméticas en la Primera y

Segunda Etapa de Educación Básica

Maritza González

Ángel Míguez

Mayo de 2.007

Introducción

En los últimos años se ha acrecentado en la Educación Básica el interés por estudiar los problemas como recurso para la enseñanza de las matemáticas.

Esta investigación va enfocada a clasificar los tipos de enunciados aritméticos, planteados a los niños y niñas en la Primera y Segunda Etapa de Educación Básica en los materiales escritos usados por una muestra no aleatoria de docentes del área metropolitana de Caracas, clasificando los problemas según sus diferentes estructuras semánticas y las situaciones de producción que presentan; entendiendo que "cada problema comunica un significado diverso y es al significado no a la operación implicada a la que hay que hacer referencia para comprender, traducir, simbolizar, es decir, resolver el problema". (D´Amore, citado por Duhalde, 1 999).

Por ello en la investigación se consideraron los aportes teóricos de dos estudios sobre el tema: Carpenter y Moser (1 982), y Alson (2 000).

Las razones por las cuales seleccionamos estos dos enfoques para clasificar los enunciados aritméticos, es que abarcan las operaciones básicas, desde diferentes perspectivas, en el caso de las categorías semánticas sirven para analizar los problemas de adición y sustracción y las categorías de situaciones de producción que permiten clasificar los enunciados aritméticos desde la óptica de lo que plantean los problemas para que el estudiante produzca, considerando el procedimiento y la acción.

Otra razón por la que hemos escogido estas dos clasificaciones es para obtener una óptica mas completa de los enunciados aritméticos. Los resultados de este estudio tiene implicaciones como es obtener una clasificación de que tipos de enunciados aritméticos predominan en los materiales escritos usados por docentes y a su vez acercarnos a qué tipo de habilidades asociadas a los diferentes tipos de problemas se priorizan, o se dejan de lado.

Por otro lado la investigación es de tipo documental, descriptiva, no experimental. Nuestra labor consistió en revisar los libros de textos, enciclopedias, guías, y otros materiales escritos usados por los docentes, y describir los problemas con base en las categorías definidas por los autores antes mencionados.

 

Planteamiento del Problema

Los estudios sobre los enunciados aritméticos constituyen uno de los temas que generan más investigaciones en el área de Educación Matemática. En estos tiempos en donde las habilidades de memorización no son suficientes debido a la gran difusión de información, por el uso creciente de la tecnología, se hace preciso optar por recursos que respondan al momento histórico en el qué vivimos, (Kilpatrick citado por Martínez, 1 992), ya que los problemas coadyuvan al desarrollo de múltiples habilidades útiles para las necesidades de la sociedad actual.

La enseñanza de las matemáticas se ha desarrollado básicamente bajo una metodología de memorización de datos y de resolución de algoritmos sin ningún tipo de significado para los estudiantes; centrando más el interés en el cálculo que en la comprensión de los problemas. (Villagrán, 1 998).

También es importante señalar el papel que juegan los docentes, quienes utilizan materiales diseñados por las editoriales que sirven como manuales de instrucción sin hacer una reflexión y adaptación de los contenidos de estos, de las situaciones que plantea, tal como afirma Montenero (1 999), un maestro de una escuela de Guayana en uno de sus escritos "a este maestro no le gusta la matemática porque no la entiende y entonces no hace otra cosa que copiar teorías de libros y recitarlas sin ningún tipo de análisis, ni de crítica" (21)

En países como España se han realizado estudios acerca de la importancia de exponer a los niños a diferentes tipos de enunciados aritméticos, pues ello conlleva a ejercitar diferentes tipos de habilidades mentales y plantean distintos niveles de dificultad. (Villagrán, 1 998).

Por ello, considerando, la matemática con la finalidad de desarrollar procesos superiores según Vygostky (Moll, 1 993) como la toma de decisiones, la resolución de problemas, esta investigación se ha enfocado a describir qué tipos de enunciados aritméticos se plantean en los materiales escritos usados por una selección no aleatoria de docentes del área metropolitana de Caracas, tanto de escuelas oficiales como privadas, para la enseñanza de las operaciones aritméticas. Se realizó una clasificación de los enunciados aritméticos presentados en los materiales escritos con base en tres categorías propuestas por tres autores tales como Carpenter y Moser (1 982), entre otros, que estudian los problemas aritméticos (adición y sustracción) de enunciado verbal desde el enfoque de las categorías semánticas y por último Alson (2 000) quien categoriza los enunciados matemáticos de acuerdo a las situaciones de producción que estos solicitan desarrollar a los estudiantes.

La importancia de estas categorías radica en que están enfocadas en la actividad del discente, en lo que los enunciados aritméticos plantean que este haga, en las relaciones que subyacen en el mismo y permiten clasificar los diferentes tipos de habilidades mentales que se les solicitan a los estudiantes para su resolución.

Por tanto en esta investigación nos hacemos las siguientes preguntas: ¿qué tipos de materiales escritos están utilizando los docentes para la enseñanza de las operaciones aritméticas a través de la resolución de problemas?, ¿Dentro de estos materiales escritos se consideran problemas con diferentes estructuras semánticas y diferentes situaciones de producción?

Este será el enfoque que le daremos a nuestro trabajo.

 

Justificación de la Investigación

La importancia de la investigación que se realizó, radica en primer lugar en que amplía la investigación que se inicio el año 2 003 en la Escuela de Educación de la UCV con el estudio de los problemas con diferentes estructuras semánticas realizados por González y Jiménez (2 003), pues consideramos necesario revisar la situación en los seis primeros grados de la Educación Básica y con instituciones que usen diferentes libros de texto y/o guías instruccionales elaboradas por los docentes de esos seis grados.

En segundo lugar, porque se uso otra clasificación que permite diversificar los criterios clasificadores de los enunciados aritméticos con miras a tener una descripción más amplia.

Esto nos permitirá reflexionar acerca de los enunciados usados en las guías de estudio y en los libros de textos que se utilizan para enseñar matemáticas.

Por ello, este estudio, busca concienciar a los docentes y a los estudiantes de educación de la necesidad de comprender las matemáticas y su didáctica en el ámbito educativo desde una perspectiva conceptual, que exponga a los niños a diferentes significados y que los docentes estén conscientes de esto y planifiquen cada situación o enunciados aritméticos que planteen al niño.

Los beneficios de esta investigación, en nuestra opinión, son los siguientes:

1.      Clasificar los enunciados aritméticos desde diversas perspectivas.

2.      Reflexionar acerca de los enunciados que utilizan los docentes en la práctica para la enseñanza de las matemáticas.

3.      Contribuir a la acumulación de conocimientos para posteriores investigaciones relacionadas con este tema.

4.      Propiciar cambios en los libros de textos. Al finalizar la investigación fue entregada a las editoriales que proporcionaron los libros de texto, así como al colegio que nos entrego las guías elaboradas por los docentes.

5.      Los beneficiarios potenciales de este estudio son los docentes y los alumnos.

Objetivos

Objetivo general

Describir, desde dos perspectivas diferentes, los tipos de enunciados aritméticos planteados en los materiales escritos usados por los docentes para enseñar las operaciones aritméticas en la Primera y Segunda Etapa de Educación Básica.

Objetivos específicos

1.    Determinar qué materiales escritos referidos a enunciados aritméticos utilizan los docentes para enseñar las operaciones aritméticas de diferentes escuelas del área metropolitana de Caracas.

2.    Clasificar los tipos de enunciados aritméticos con diferentes estructuras semánticas planteados en los materiales escritos usados por los docentes en la Primera y Segunda Etapa de Educación Básica.

3.    Clasificar los tipos de enunciados aritméticos que presentan diferentes situaciones de producción planteados en los materiales escritos usados por los docentes en la Primera y Segunda Etapa de Educación Básica.

 

Antecedentes de la Investigación

González y Jiménez (2 003) elaboraron su trabajo de grado sobre "los problemas de adición y sustracción con diferentes estructuras semánticas en la Primera y Segunda Etapa de Educación Básica", para optar al título de licenciado en Educación, mención Preescolar y Primera Etapa de Básica.

Dichas autoras trazaron como objetivo general: "evaluar los diferentes tipos de problemas de adición y sustracción con diferentes estructuras semánticas de una operación que se utilizan en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática en la Primera Etapa de Educación Básica venezolana".

Por otro lado como objetivos específicos podemos mencionar:

·      Analizar las distintas clasificaciones de problemas con diferentes estructuras semánticas referidos a la adición y sustracción de una operación.

·      Analizar las recomendaciones y sugerencias que presenta el programa de matemáticas de tercer grado del Currículo Básico Nacional en cuanto a los problemas de adición y sustracción, con diferentes estructuras semánticas de una operación.

·      Evaluar los tipos de problemas de adición y sustracción con diferentes estructuras semánticas de una operación, que son utilizados por los docentes en el proceso de enseñanza aprendizaje de estas operaciones.

·      Determinar los tipos de problemas de adición y sustracción de una operación que están presentes en los textos y cuadernos de matemáticas utilizados por los alumnos al estudiar.

·      Evaluar el desempeño de los estudiantes de tercer grado al realizar diferentes tipos de problemas de adición y sustracción con diferentes estructuras semánticas de una operación.

·      Analizar resultados relacionándolos con los datos obtenidos de alumnos, profesores, cuadernos, textos y currículo sobre la base de los problemas semánticos de adición y sustracción de una operación.

La tesis se enmarca dentro de la modalidad metodológica de estudio exploratorio, la cual, consiste en investigar un objeto considerando que los estudios sobre este son vagos o imprecisos, cuando de hecho son pocas las investigaciones realizadas y se pisa sobre terreno firme.

Entre los aspectos concluyentes que presentaron las autoras se mencionan a continuación las siguientes:

·      Luego de analizar el Currículo Básico Nacional, en especial lo referente al programa de matemática de la primera etapa de Educación Básica afirman los lineamientos generales "reconocen que la resolución de problemas es la estrategia básica para enseñanza de la educación matemática, sin embargo, no existen ni recomendaciones, ni sugerencias, en cuanto al estudio de problemas de adición y sustracción con diferentes estructuras semánticas. (53).

·      Los docentes de las escuelas oficiales por lo general sólo trabajan con problemas pertenecientes a la categoría de cambio tipo 1 y tipo 2, mientras que los docentes de las escuelas privadas utilizan diferentes tipos de problemas con otras estructuras semánticas, además de la categoría de cambio.

·      El texto utilizado por las docentes es el mismo, tanto en la escuela oficial como en las privadas y este sólo presenta problemas enmarcados dentro de la categoría de cambio.

·      En los cuadernos de los niños que reciben clases en la escuela oficial no existen evidencias que hayan recibidos instrucción sobre resolución de problemas.

·      En los cuadernos de los niños de las escuelas privadas estudiadas se encontraron problemas con diferentes estructuras semánticas con énfasis en los problemas de cambio.

·      De acuerdo a los resultados obtenidos referido al grado de dificultades concluyo: 1)- los problemas de la categoría de cambio presentaron un grado de dificultad moderado, dependiendo de los tipos de cambio que se pueden considerar, 94,8% de logro en el tipo 1, en los tipos 3 34,62%; 2)- en la categoría de combinación, el tipo 1 presenta un grado de dificultad moderado con un 83,33% y el tipo 2 con 41,3%; 3)- los problemas de la categoría de comparación presentan un grado de dificultad variable, desde 29,49% hasta 69,23%; 4)- en los problemas de la categoría de igualación se encuentra el mayor grado de dificultad.

·      "Existen grandes diferencias en cuanto al nivel de dificultad por tipo de problemas de las diferentes estructuras semánticas que se compensan al englobarla por categoría". (117).

·      Concluyeron que no existe en el país una normativa oficial que contemple la necesidad de resolver problemas de diferentes estructuras semánticas; no hay libros de textos adecuados ni los docentes están preparados respectos al tema.

·      No exponer a los niños que se están iniciando en la resolución de todo tipo de problemas, pues las investigaciones muestran que puede tener un efecto negativo.

Proponen partir de situaciones reales tales como, objetos manipulables, lenguaje hablado, dibujos y símbolos escritos.

En España, encontramos otra investigación llevada a cabo por Manuel Villagrán (1 998) denominado "las dificultades en la resolución de problemas aritméticos al iniciarse el segundo ciclo de la educación primaria, diferenciando entre los problemas planteados con números pequeños o con números grandes". (3).

La investigación se emprendió con 95 alumnos del tercer grado de Educación Primaria, en dos colegios en la ciudad de Cádiz, con edades comprendidas entre 8.5 y 9,5 años, y 50,52% eran varones y 49,48% mujeres.

El autor utilizó una batería que contemplaba problemas con diferentes estructuras semánticas: cambio, combinación, comparación e igualación y a su vez presentaba problemas con números muy pequeños (menores que 200) y otros con números grandes (mayores que 200).

Los resultados y conclusiones fueron los siguientes:

·      Cuando los problemas se plantean con números pequeños resultan más fáciles que con números más grandes, esto porque los datos se encuentran más lejanos del campo de experiencias de los niños.

·      Los problemas correspondientes a la categoría de comparación e igualación presentan más dificultades que los problemas de otras categorías. Los problemas de cambio son los más fáciles de todos, muy cerca de los de combinación.

Bruno (2 001) realizó una investigación en España sobre "algunas dificultades en los problemas aditivos" publicado en la revista SUMA N° 37. El autor se propuso como objetivos:

·      Analizar los niveles de dificultad de los problemas aditivos de alumnos de tercero, cuarto, quinto y sexto de Educación Primaria considerando las formas de expresar ciertas sentencias de los enunciados.

·      Destacar la importancia de la categoría cambio comparación como distinta a las otras.

El autor plantea "que ciertas formas de expresar la variación y la diferencia, así como el orden en el que se presenten los datos, hacen que resulte más difícil al alumno la comprensión del enunciado del problema e imaginar la situación numérica a la que se refiere, lo que le impide tener éxito en su resolución" (Bruno, 2 001, 85).

Los problemas fueron planteados en formas de 39 historias simples y que conciernen a las cuatros categorías clásicas de adición: cambio, combinación, comparación e igualación, y este test fue aplicado a 267 estudiantes. Los resultados más resaltantes fueron los siguientes:

·      No se puede establecer un nivel estricto de dificultad entre las cuatro clases de problemas aditivos.

·      El orden de los datos en el enunciado influye en el éxito de los problemas de cambio comparación aunque esto no sucede en los problemas de cambio.

·      Los problemas de cambio obtuvieron los resultados de éxitos más altos entre 75% y 100%, tal vez porque son los más desarrollados en la escuela.

Basamento Teórico

En el presente trabajo, pese a estar conscientes de la existencia de diferentes concepciones sobre lo que es un problema matemático, decidimos tomar como objeto de estudio los enunciados matemáticos. Por tanto, no todos los enunciados analizados pueden ser considerados problemas a la luz de las definiciones existentes en la bibliografía especializada.

A lo largo de todo el trabajo se hablarán de los Enunciados Aritméticos, a veces aparecerán los términos de Problemas Verbales o de Problemas Matemáticos, por ser la terminología usada por los autores que estamos usando para realizar la clasificación propuesta.

Categorías semánticas

Uno de los primeros trabajos sobre el tema fue el presentado por Heller y Greeno en 1 978 estudiando el procesamiento semántico de los problemas verbales. Allí resaltan tres estructuras alternativas que contienen información cuantitativa respecto a problemas aditivo y de sustracción, denominadas causa / efecto, combinación y comparación.

Simultáneamente en 1 978 Nesher y Katriel(1 982) coinciden con el análisis semántico anterior. Dentro de esta corriente se destacan autores tales como: Carpenter y Moser (1 982), Riley, Greeno y Heller(1 983), Nesher(1 983), De Corte y Verschffel(1 996), Bermejo y Rodríguez(1 990), Martínez(1 999), Fucson(1 992).

Las categorías semánticas son estructuras de significados presentes en enunciados verbales aritméticos simples que determinan el tipo de relaciones entre las cantidades numéricas.

González y Jiménez (2 003), definen las categorías semánticas como “enunciados verbales donde de forma implícita se plantea una o más relaciones entre cantidades numéricas”.(53)

Carpenter y Moser (1 982) mencionan que estas categorías se refieren a “los significados de los elementos que intervienen en el problema” (3)

Por tanto la estructura de un problema verbal plantea diferentes formas de presentar una información. De allí que los estudiosos del tema hayan propuesto cuatro categorías a considerar en los problemas aritméticos verbales:

Categoría de Cambio

“...Aquellos problemas cuyo significado hace referencia a una cantidad (sólo a una) que en el trance de la operación sufre un cambio, bien sea para aumentar o para disminuir”. (González y Jiménez, 2 003, 55).

Los problemas que presentan este tipo de estructura verbal se caracterizan por plantear una situación de adición o sustracción, sufre una modificación en una de las cantidades a la que hace se referencia en el enunciado.

Es así como podemos hablar de dos tipos de problemas de cambio y a su vez dentro de cada tipo destacan tres tipos:

- Los problemas Unión-Cambio: Estos problemas presentan una cantidad inicial, una variación o cambio que se produce en el tiempo y que causa un incremento de esa cantidad. Aquí se consideran los problemas de tipo 1, 3 y 5.

- Los problemas Separación- Cambio: Estos problemas presentan la característica de separar de un grupo cualquiera, un subgrupo de objetos. Aquí se consideran los problemas de tipo 2, 4 y 6.

Dentro de cada tipo de problema ya sea de unión o de separación, hay tres tipos, en los cuales la diferencia depende de cuál sea la cantidad desconocida. Algunos autores hablan de niveles de cambio, el cual, se trata de la ubicación de la incógnita o sea donde se halla el dato no conocido. Este puede encontrarse en:

q  La situación inicial,

q  Cambio que se produce en el tiempo,

q  Situación final.

Cuadro # 1: Categoría de Cambio

Tipo	Texto	Cantidad inicial	Cambio	Cantidad final	Sentido de la Diferencia	Operación
1	Andrés tiene 12 bolívares. Le dan 5 más, ¿Cuánto dinero tiene ahora?	12	5	Incógnita	Aumento	Suma
2	Andrés tiene 12 bolívares. Pierde 5, ¿Cuánto dinero tiene ahora?	12	5	Incógnita	Disminución	Sustracción
3	Andrés tiene 12 pesetas. Su abuelo le da dinero. Ahora tiene 17. ¿Cuanto dinero le han dado?	12	Incógnita	17	Aumento	Sustracción
4	Andrés tiene 12 bolívares. Pierde dinero y ahora tiene 7 bolívares, ¿Cuánto ha perdido?	12	Incógnita	7	Disminución	Sustracción
5	A Andrés su abuelo le ha dado 5 bolívares. Ahora tiene 17, ¿Cuánto dinero tenia antes?	Incógnita	5	17	Aumento	Sustracción
6	Andrés ha perdido 5 bolívares. Le quedan todavía 7, ¿Cuánto tenía antes de perderlo?	incógnita	5	7	Disminución	Suma

Fuente: González y Jiménez, 2 003.

En este cuadro se presenta los seis tipos de categorías de cambio, de acuerdo a la manera en que se expone la información y que va a determinar que tipo de problema es. Podemos notar como la situación cambia dependiendo de donde se encuentra la incógnita, ya sea en la situación inicial, en el proceso de cambio o en la situación final, así el sentido de la diferencia puede ser de aumento o disminución. Por ultimo se expone el tipo de operación que intervino en la resolución del problema.

Categoría de Combinación

...”Se agrupan los problemas cuyo texto hace referencia a la combinación de dos o más cantidades parciales para obtener un todo.” (González y Jiménez, 2 003, 57).

En este tipo de problemas se plantean dos cantidades que forman parte de un todo, no se produce aumento ni disminución de las partes.

Se establecen relaciones estáticas, no hay acción. Esto “supone una relación entre un grupo específico y dos subgrupos suyos”. (Carpenter y Moser, 1 982,3).

Hay dos tipos de problemas de combinación:

ü  Se conoce dos subgrupos y la incógnita es el total.

ü  Se conoce un grupo subgrupo y el total; la incógnita es un subgrupo.

Cuadro # 2 Categoría de Combinación

Tipo	Texto	Cantidad I	Cantidad II	Todo	Sentido	Operación
1	En la granja tienen 45 gallinas y 6 gallos. ¿Cuántas aves tienen en total?	45	6	Incógnita	Reunir	Suma
2	En la granja hay 51 aves entre gallos y gallinas. Hay 6 gallos. ¿Cuantas gallinas hay?	Incógnita	6	51	Complementar	Sustracción

Fuente: González y Jiménez, 2 003.

En este cuadro se presenta los dos tipos de categorías de combinación, se presenta los dos problemas posibles en esta categoría, en la cual encontramos dos cantidades y el resultado o total de esas cantidades. Podemos notar como la situación cambia dependiendo de donde se encuentra la incógnita, ya sea que se trate de conocer el total o uno de los subgrupos o cantidades, así el sentido de la diferencia puede ser de complemento o reunir. Por ultimo se expone el tipo de operación que intervino en la resolución del problema.

Categoría de Comparación

Se refiere a “aquellos problemas cuya estructura hace referencia a una cantidad que es comparada con otra. De esa comparación puede surgir o no una diferencia”. (González y Jiménez, 2 003, 58).

Dentro de los problemas de este tipo podemos considerar que se presentan sólo dos cantidades donde una es la cantidad comparada y la otra es la cantidad referente. La diferencia es producto de la comparación entre ambas cantidades, aunque ninguna de estas dos cantidades es alterada.

Al igual que los problemas de tipo combinatorio los problemas de tipo comparativo son estáticos, no hay una acción. Suponen el hecho de comparar dos grupos distintos de objetos.

La diferencia se expresa por medio de “más que” o de “menos que”.

• “Más que”: Cuando se dice cuánto el estado mayor es más que el menor.
• “Menos que”: Cuando se dice cuánto el estado menor es menos que el mayor.

Así podemos reconocer tres aspectos:

• Cantidad comparada,
• Cantidad referente,
• Diferencia.

Cuadro # 3: Categoría de Comparación

Tipo	Texto	Cantidad Comparada	Cantidad Referente	Diferencia	Sentido de la Diferencia	Operación
1	Andrés tiene 12 bolívares. Juan tiene 5, ¿Cuántos bolívares mas tiene Andrés?	12	5	Incógnita	(+)	Sustracción (-)
2	Andrés tiene 12 bolívares. Juan tiene 5, ¿Cuántos bolívares menos tiene Juan?	5	12	Incógnita	(-)	Sustracción (-)
3	Andrés tiene 12 bolívares. Juan tiene 3 bolívares mas que él, ¿Cuánto dinero tiene mas Juan?	Incógnita	12	3	(+)	Adicción (+)
4	Andrés tiene 12 bolívares. Juan tiene 3 bolívares menos que él, ¿Cuántos bolívares tiene Juan?	Incógnita	2	3	(-)	Sustracción (-)
5	Andrés tiene 12 bolívares. Tiene 5 bolívares mas que Juan, ¿Cuánto dieron tiene Juan?	12	Incógnita	5	(+)	Sustracción (-)
6	Andrés tiene 12 bolívares. Tiene 5 bolívares menos que Juan, ¿Cuánto dinero tiene Juan?	12	Incógnita	5	(-)	Adicción(+)

Fuente: González y Jiménez, 2 003.

En este cuadro se presenta los seis tipos de categorías de comparación. Podemos notar como en los casos anteriores la situación cambia dependiendo de donde se encuentra la incógnita, ya sea en la cantidad comparada, en la cantidad referente o en la diferencia, así el sentido de la diferencia puede ser de aumento o disminución. Por ultimo se expone el tipo de operación que intervino en la resolución del problema.

Categoría de Igualación

 “Aquellos problemas cuya estructura hace referencia a una cantidad que es igualada, añadiendo o quitando a otra que sirve de referencia”. (González y Jiménez, 2 003, 60).

Este tipo de problema constituye un híbrido (Carpenter y Moser, 1982, 4) entre los problemas de cambio y de comparación. Existe algún tipo de acción pero tomando en cuenta la comparación de los dos grupos.

Dependiendo de la acción, de la posición sintáctica del valor desconocido, podemos determinar dos tipos de problemas de igualación:

·         Unión – igualación: Cuando se dice lo que se ha de añadir al estado menor para igualar al menor.

·         Separación – igualación: Cuando se dice lo que se ha de quitar al estado mayor para igualar al menor.

En fin se basan fundamentalmente en decir cuanto debe aumentar el estado menor para igualar al menor o viceversa.

Cuadro # 4: Categoría de Igualación

Tipo	Texto	Cantidad Referente	Cantidad Igualada	Diferencia	Sentido de la Diferencia	Operación
1	María tiene 12 bolívares. Ana tiene 5, ¿Cuántos bolívares tiene que perder María para que le quede la misma cantidad que a Ana?	5	12	Incógnita	Aumento(+)	Sustracción(-)
2	María tiene 12 bolívares. Ana tiene 5, ¿Cuántos bolívares le tienen que dar a Ana para que tenga la misma cantidad que María?	12	5	Incógnita	Disminución(-)	Sustracción(-)
3	María tiene 12 bolívares. Si a Ana le dan 3 bolívares mas, tiene el mismo dinero que María, ¿Cuánto dinero tiene Ana?	12	Incógnita	3	Aumento(+)	Sustracción(-)
4	María tiene 12 bolívares. Si Ana perdiera 3 bolívares, le quedaría el mismo dinero que ha María, ¿Cuánto dinero tiene Ana?	12	Incógnita	3	Disminución(-)	Adicción(+)
5	María tiene 12 bolívares. Si le dieran 5 bolívares, tendría el mismo dinero que Ana, ¿Cuánto dinero tiene Ana?	Incógnita	12	5	Aumento(+)	Adicción(+)
6	María tiene 12 bolívares. Si perdiera 5 bolívares, tendría el mismo dinero que Ana. ¿Cuánto dinero tiene Ana?	Incógnita	12	5	Disminución(-)	Sustracción(-)

Fuente: González y Jiménez, 2 003.

En este cuadro se presenta los seis tipos de categorías de igualación, de acuerdo a la manera en que se expone la información y que va a determinar que tipo de problema es. La situación cambia dependiendo de donde se encuentra la incógnita, ya sea en la cantidad referente, cantidad igualada o en la diferencia, así el sentido de la diferencia puede ser de aumento o disminución. Por ultimo se expone el tipo de operación que intervino en la resolución del problema.

La siguiente tabla tomada de González y Jiménez (2 003), muestra un resumen de las diferentes categorías y las denominaciones previas otorgadas por otros autores a estas.

Cuadro # 5: Categorías

Categoría	Características	Ejemplo	Denominación Previa
Cambio	Describe el aumento o la disminución en algún estado inicial para producir un estado final.	Juan tiene 6 caramelos. Perdió 2. ¿Cuántos le quedan?	CAMBIO: Greeno (1980 a, b) UNIÓN Y SEPARACIÓN: Carpenter y Moser (1981) Carpenter et al. (1981)TRANSFORMACIÓN RELACIONANDO DOS MEDIDAS: Vergnaud y Duran (1976) Vergnaud (1981)
Combinación	Implica relación estática entre conjuntos. Pregunta por el conjunto Unión o por uno de los dos Subconjuntos distintos.	En el parque hay 7 niños y 3 niñas.¿Cuántos niños hay en total?	COMBINACIÓN: Greeno (1980 a, b) Heller y Greeno (1978), Riley et al (1981)PARTE-PARTE TODO: Carpenter y Moser (1981) Carpenter et al (1981)ESTÁTICA: Nesher (1978, 1981)COMPOSICIÓN DE DOS MEDIDAS: Vergnaud (1981) y Durand (1976)
Comparación	Implica relación estática entre dos conjuntos. Pregunta acerca del conjunto Diferencia o acerca de uno de los conjuntos sobre los que actúa el conjunto Diferencia.	Félix tiene 8 caramelos, Alberto tiene 3 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene más que Alberto?	COMBINACIÓN: Greeno (1981 a, b) Carpenter y Moser (1981) Carpenter et al (1981), Nesher y Kariel (1978), Nesher (1978)UNA RELACIÓN ESTÁTICA CONECTANDO DOS MEDIDAS: Vergnaud y Durand (1976), Vergnaud (1981)
Igualación	Hace referencia a una cantidad que es igualada, añadiendo o quitando a otra que sirve de referencia.	Martha tiene 12 caramelos. Ana tiene 5. ¿Cuántos caramelos tiene que comerse Martha para que le quede la misma la misma cantidad que a Ana?

Fuente: González y Jiménez, 2 003.

Situaciones de Producción

Alson (2 000) propone en su tesis de doctorado en didáctica de las matemáticas elementos para una teoría de la significación en didáctica de las matemáticas. Cuatro tipos de situaciones de producción que en los problemas se les presentan a los estudiantes para que este actúe o proceda a su resolución.

El autor apunta que un individuo esta en una situación de producción si debe producir un objeto utilizando una acción hecha por él.”(2 000, 3.).

Así la actividad esta centrada en el estudiante, en los medios que este puede utilizar y que el problema le sugiere que realice.

Por otro lado es conveniente destacar la definición que hace el autor de lo que es un procedimiento”una sucesión de operaciones que permiten a partir de un objeto obtener otro” (2 000, 2).

Es así como Alson (2 000) hace una importante definición de la noción de acción y de producción. La noción de producción tiene que ver con un ente o estado resultado de una acción, mientras que la acción es la que lleva a cabo el procedimiento para una acción.

Alson (2 000) simboliza la situación de producción de la siguiente manera:

Situación de producción: |--->                                                         Procedimiento: --->

 

Situación Algorítmica

Es algorítmica cuando al sujeto se le presenta una situación en donde un objeto x y el procedimiento son explícitos, el sujeto procede inmediatamente a colocar el resultado al problema o ejercicio:

(A) (B)

(2+5=) (¿)

Ejemplo: “una señora tenía 395 botones, usó 299 y tuvo que adquirir otros 145 más ¿Qué tiene para su uso?”

La situación consiste en restar 299 botones a 395 dando como resultado 96 para luego sumarle 45 más. El objeto X es 395 botones en total, utilizo 299, adquirió 145. El procedimiento es sumar y restar, por tanto se le pide al sujeto que coloque el resultado.

Situación de Producción Significante

Es significante cuando al sujeto se le presenta una situación en donde se da el resultado, pero no el objeto x, que puede dar ese resultado. La tarea del sujeto es completar el ejercicio o problema, “se le da al alumno la forma y se le pide que la complete” (Alson, 2 000). El sujeto debe determinar el objeto x.

La acción del sujeto consiste en determinar los sumandos, ejemplo:

“Martha tiene en total 40 caramelos de los cuales Jorge le regalo unos cuantos y Marlene el resto ¿determina cuántos le regala cada uno para tener 40 en total?”

La situación consiste en determinar cuál es el objeto A o sea cuánto fue que le regalaron cada uno de los niños a Martha, se presenta el resultado, el total, que es 40 y el procedimiento también presente: la adición. Este tipo de problemas permite que el sujeto tenga amplia posibilidades para resolver un problema.

Situación de Producción de Interpretación

Es de interpretación cuando al sujeto se le presenta una situación en donde se da el resultado o sea el objeto y la acción del sujeto va dirigida a determinar el objeto x y el procedimiento para alcanzar ese resultado objeto y,

Ejemplo: “En un aula de dibujo tenemos 935 creyones traídos por los estudiantes, si en la misma hay 20 mesas de dibujo y el aula es usada por todas las secciones de la segunda etapa de Educación Básica ¿cómo se puede establecer el aporte de los estudiantes de cada sección?”

Situación de Producción de Formalización:

Es de formalización cuando al sujeto se le presenta una situación en donde se conoce un objeto x y la tarea es la de determinar el procedimiento para alcanzar el resultado de un objeto y,

Ejemplo:

Sabiendo que una cuerda es el segmento que une a dos puntos diferentes de una circunferencia y que el diámetro es la denominación de la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el diámetro d de una circunferencia si su radio r mide 12 cm?

Con base en lo estudiado el alumno debe determinar que el diámetro es equivalente a dos radios, es decir (à), de aquí se tiene que:

(r) |--->  [---> (d)]

(12) |--->  [---> (24)]

En este caso à viene dado por la relación d = 2r

 

Metodología

Antes de definir que tipo de investigación se llevó a cabo en este proyecto, consideramos conveniente destacar la clasificación propuesta por Padrón, (2002) acerca de las tipologías de las investigaciones, pues en esta me sustentaré.

El autor mencionado expone que en una investigación se puede considerar tres criterios:

·      Cuál es la naturaleza del producto final que ellas generan.

·      Cuál es la fuente de datos.

·      Cuál es la clase de recurso de comprobación de datos.

Tomando en cuenta estos tres criterios concluye que de acuerdo a la naturaleza del producto final de una investigación estas pueden considerarse descriptivas, explicativas, aplicativas; en cuanto a la fuente de datos pueden ser de campo o documentales y por último referente al recurso de comprobación de datos resaltan las experimentales, las cuasiexperimentales y las no experimentales.

Así la investigación que se llevó a cabo obtuvo como producto final un estudio descriptivo de los tipos de enunciados aritméticos presentados en los materiales escritos usados por los docentes en la Primera y Segunda Etapa de Educación Básica del área metropolitana de Caracas. La fuente de datos para obtener este producto fueron los materiales escritos utilizados por los docentes, por tanto es documental. Por otro lado no se contemplo el uso de recursos de comprobación por lo que es considerada no experimental.

La población considerada para la determinación de los materiales escritos que analizaríamos fue una muestra no aleatoria de los materiales escritos usados por docentes de escuelas oficiales y privadas del área metropolitana de Caracas. Se determinó qué libros de texto de Matemática o Enciclopedias utilizan y se le solicitó una copia de los otros materiales escritos que usan para las clases de matemáticas. En el caso de los libros de texto y las enciclopedias se los solicitamos por escrito a las empresas editoriales, las cuales, en su mayoría, colaboraron gustosamente con la investigación. En algunos casos tuvimos que adquirir los textos por nuestra cuenta.

Para el estudio, agrupamos los materiales en ocho grupos de acuerdo a la editorial o colegio a que pertenecen en el caso de las guías elaboradas por los docentes. Para efecto de esta investigación denominaremos a cada uno de la manera siguiente:

Grupo	Materiales
1	Guía 1, Guía 2, Guía 3, Guía 4, Guía 5 y Guía 6
2	Libro 1, Libro 2, Libro 3, Libro 4, Libro 5 y Libro 6 Enciclopedia 2 y Enciclopedia 5
3	Libro 1, Libro 2, Libro 3, Libro 4 y Libro 5
4	Libro Guía 1, Libro Guía 2, Libro Guía 3, Libro Guía 4, Libro Guía 5 y Libro Guía 6
5	Libro 1, Libro 2, Libro 3, Libro 4, Libro 5 y Libro 6
6	Enciclopedia 1, Enciclopedia 2, Enciclopedia 3, Enciclopedia 4, Enciclopedia 5 y Enciclopedia 6
7	Libro 1, Libro 2, Libro 3, Libro 4, Libro 5 y Libro 6
8	Libro 1, Libro 2, Libro 3, Libro 4, Libro 5 y Libro 6

Resultados

Presentación de resultados por grupos

La importancia de trabajar con distintas categorías, es que ponen en juego diferentes formas de plantear los problemas con distintos significados y que a su vez determinan las relaciones entre las cantidades, ya sea cambiar, combinar, comparar o igualar, pueden plantear diversos cálculos relacionales que permite desarrollar la noción de transformación, y medidas, de estado y cambio, en el caso de las categorías de relaciones multiplicativas y más específicamente en el caso de los problemas de isomorfismo de medidas promueven el desarrollo de nociones de función y de correspondencia, de razón, de proporción y de fracción, permite desarrollar el estudio de las relaciones cuaternarias. Los problemas referidos a productos de medidas promueven el desarrollo de productos cartesianos, cálculos de áreas y volúmenes, conceptos físicos. También es importante destacar la necesidad de considerar en los problemas que productos estos sugieren que se den y que procedimientos explícitos o no plantean.

A continuación se presentan los resultados por grupos; consideramos un grupo como el conjunto de varias guías elaboradas por los docentes o de libros de textos de distintas editoriales, por tanto, cada grupo representa una editorial o conjunto de guías de una escuela. Consideramos necesario hacerlo de este modo para comparar si existen diferencias sustanciales entre ellos. A continuación se presentan los grupos y la editorial o colegio al que pertenecen los materiales escritos revisados:

En otro orden de ideas, es importante destacar, para comprender la presentación de los resultados de cada grupo, que la misma cantidad de problemas revisados en el aspecto de las categorías semánticas, es el mismo número para el caso de las categorías de Relaciones Aditivas, no así en el relativo a las relaciones multiplicativas. En cuanto a la cantidad de problemas en el área de las situaciones de producción, es la suma de los problemas de tipo aditivo y de tipo multiplicativo.

GRUPO #1:

En total, se analizaron 56 enunciados, de las guías elaboradas por los docentes de una escuela de Caracas, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

CATEGORÍAS SEMÁNTICAS:

·      26 de los enunciados aritméticos analizados en este grupo, corresponden a la categoría de cambio, encontrándose solo tres tipos de problemas de cambio: el tipo 1, 2, y 4, con 10, 13 y 3 problemas respectivamente.

·      20 de los enunciados aritméticos revisados, concuerdan con la categoría de combinación; con 18 problemas para el tipo 1, y 3 problemas para el tipo 2.

·      7 de los enunciados aritméticos se adecuan a la categoría de comparación, encontrándose 1 problema del tipo 1, 5 problemas tipo 2 y 1 problema tipo 6.

·      3 de los enunciados aritméticos corresponden a la categoría de igualación, hallándose sólo problemas del tipo 2.

Cuadro # 9 Comparación de categorías semánticas:

TIPO	CAMBIO	COMBINACIÓN	COMPARACIÓN	IGUALACIÓN
1	10	17	1	-
2	13	3	5	3
3	-	-	-	-
4	3	-	-	-
5	-	-	-	-
6	-	-	1	-

La mayor concentración de los enunciados aritméticos se halla en la categoría de Cambio tipo 1 y tipo 2, y de combinación tipo 1, en detrimento de la Categoría de Comparación e Igualación, así como de otros tipos dentro de cada Categoría.

Es notable la poca variedad de enunciados expuestos en este grupo. Lo que indica que los docentes que usan este material para la enseñanza de la matemática les proponen a los estudiantes una variedad restringida de problemas. Esto puede colocar a estos estudiantes en desventaja ante situaciones nuevas que contemplen categorías o tipos no estudiados.

CATEGORÍAS DE SITUACIONES DE PRODUCCIÓN:

En total, se analizaron 91 enunciados aritméticos, de las guías elaboradas por los docentes de una escuela de Caracas, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

·      91 de los enunciados aritméticos, proponen situaciones de producción algorítmicas.

No se hallaron enunciados aritméticos que propongan, situaciones de producción significativas, de formalización ni de interpretación. Es evidente el gran énfasis que se hace en los problemas aritméticos o sea en aquellos en donde la situación es clara, así como el procedimiento.

Los docentes que usan este material para su proceso de enseñanza enfatizan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, obviando las otras situaciones de producción que ampliarían la formación matemática de los estudiantes.

GRUPO # 2:

Este grupo de textos presenta 69 enunciados aritméticos en total analizado en el área de operaciones aritméticas, en los libros y enciclopedias de primero a sexto grado. Los mismos arrojaron los siguientes resultados:

CATEGORÍAS SEMÁNTICAS:

·      37 los enunciados aritméticos analizados, corresponden a la categoría de cambio, encontrándose sólo dos tipos de problemas de cambio del tipo 1 y 2 con 17 y 20 problemas respectivamente.

·      17 de los enunciados aritméticos revisados, concuerdan con la categoría de combinación; hallándose del tipo 1 con 13 problemas y el tipo 2 con 4 problemas.

·      12 de los enunciados aritméticos se adecuan a la categoría de comparación, encontrándose problemas del tipo 1 con 8 problemas y del tipo 2 con 4 problemas.

·      3 de los enunciados aritméticos se adecuan a la categoría de igualación, hallándose sólo del tipo 2.

Cuadro # 12: Comparación de categorías semánticas:

TIPO		CAMBIO	COMBINACIÓN	COMPARACIÓN	IGUALACIÓN
1		17	13	8	-
2		20	4	4	3
3		-	-	-	-
4	-		-	-	-
5	-		-	-	-
6	-		-	-	-

La mayor concentración de enunciados aritméticos se encuentra en la categoría de cambio tipo 1 y tipo 2, y de combinación tipo 1, teniendo poca o nula presencia las otras categorías, así como los diferentes tipos. Se obvia la variedad de tipos de categorías, centrándose sólo en las primeras categorías que implican menos dificultad.

Al igual que en el grupo anterior, es notable la poca variedad de enunciados expuestos en este grupo. Lo que indica que los docentes que usan este material para la enseñanza de la matemática les proponen a los estudiantes una variedad restringida de problemas. Por tanto insistimos en que esto puede colocar a los estudiantes en desventaja ante situaciones nuevas que contemplen categorías o tipos no estudiados.

SITUACIONES DE PRODUCCIÓN:

En total, se analizaron 125 enunciados aritméticos, de los textos y enciclopedias de este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

·      125 de los enunciados aritméticos, proponen situaciones de producción algorítmicas.

No se hallaron enunciados aritméticos que propongan, situaciones de producción, significativas, de formalización ni de interpretación. Es evidente el gran énfasis que se hace en los problemas aritméticos o sea en aquellos en donde la situación es clara, así como el procedimiento

De nuevo comentamos que los docentes que usan este material para su proceso de enseñanza enfatizan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, obviando las otras situaciones de producción, que ampliarían la formación matemática de los estudiantes.

GRUPO #3:

En total, se analizaron 39 enunciados aritméticos, de los libros pertenecientes a este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

CATEGORÍAS SEMÁNTICAS:

·      30 de los enunciados aritméticos analizados, corresponden a la categoría de cambio, encontrándose solo tres tipos de problemas de cambio: el tipo 1, 2, y 4, con 12, 17, y 1 problema respectivamente.

·      8 de los enunciados aritméticos revisados, concuerdan con la categoría de combinación; encontrándose sólo el tipo 1.

·      1 problema de enunciado verbal se adecua a la categoría de comparación, siendo este tipo 1.

·      No se hallaron enunciados aritméticos pertenecientes a la categoría de igualación.

Cuadro # 15: Comparación de categorías semánticas:

TIPO		CAMBIO	COMBINACIÓN	COMPARACIÓN	IGUALACIÓN
1		12	8	1	-
2		17	-	-	-
3		-	-	-	-
4	1		-	-	-
5	-		-	-	-
6	-		-	-	-

Notamos ausencia casi total de otros tipos de enunciados aritméticos, de comparación y de igualación, los problemas tipo 1 y 2 de la categoría de cambio, seguida de combinación, tipo 1 es el que predomina. Este grupo de textos es el que presenta menos opciones de problemas en comparación con otros grupos.

Es considerable la poca variedad de enunciados expuestos en este grupo. Lo que muestra que los docentes que usan este material para la enseñanza de la matemática les proponen a los estudiantes una variedad limitada de problemas. Esto puede colocar a estos estudiantes en menoscabo ante situaciones nuevas que vislumbren categorías o tipos no estudiados.

SITUACIONES DE PRODUCCIÓN:

En total, se analizaron 66 enunciados aritméticos, de los textos de este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

·      66 de los enunciados aritméticos, proponen situaciones de producción algorítmicas.

No se hallaron enunciados aritméticos que propongan, situaciones de producción significativas, ni de formalización ni de interpretación.

Es evidente el énfasis hecho en los problemas aritméticos y la ausencia de otras situaciones.

Los docentes que utilizan este material para su proceso de enseñanza resaltan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, soslayando las otras situaciones de producción que ensancharían la formación matemática de los estudiantes.

GRUPO #4:

En total, se analizaron 68 enunciados aritméticos (Categorías Semánticas y Relaciones Aditivas), de los libros guías pertenecientes a este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

CATEGORÍAS SEMÁNTICAS:

·      55 de los enunciados aritméticos analizados, corresponden a la categoría de cambio, encontrándose solo tres tipos de problemas de cambio: el tipo 1, 2, y 4, con 22, 28 y 4 problemas respectivamente.

·      11 de los enunciados aritméticos revisados, concuerdan con la categoría de combinación; con 10 problemas para el tipo 1, y 1 problema para el tipo 2.

·      2 de los enunciados aritméticos se adecuan a la categoría de comparación, encontrándose 1 problema del tipo 1 y un problema tipo 2.

·      No se hallaron enunciados aritméticos correspondientes a la categoría de igualación.

Cuadro # 18: Comparación de categorías semánticas:

TIPO		CAMBIO	COMBINACIÓN	COMPARACIÓN	IGUALACIÓN
1		23	10	1	-
2		28	1	1	-
3		-	-	-	-
4	4		-	-	-
5	-		-	-	-
6	-		-	-	-

Predominan los enunciados aritméticos de cambio tipo 1 y 2, y combinación tipo 1, obviándose la diversidad de tipos.

Es substancial la insuficiente variedad de enunciados expuestos en este grupo. Lo que demuestra que los docentes que aplican este material para la enseñanza de la matemática les proponen a los estudiantes una variedad restringida de problemas. Esto puede situar a estos estudiantes en detrimento ante situaciones nuevas que avisten categorías o tipos no estudiados.

SITUACIONES DE PRODUCCIÓN:

En total, se analizaron 113 enunciados aritméticos, de los cuadernos de ejercicios de este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

·      113 de los enunciados aritméticos, proponen situaciones de producción algorítmicas.

No se hallaron enunciados aritméticos que propongan, situaciones de producción significativas, de formalización ni de interpretación.

Es evidente el gran énfasis que se hace en los problemas aritméticos o sea en aquellos en donde la situación es clara, así como el procedimiento, en detrimento de otras situaciones.

Los docentes que usan este material para su proceso de enseñanza subrayan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, obviando las otras situaciones de producción que desarrollarían la formación matemática de los estudiantes.

GRUPO #5:

En total, se analizaron 169 enunciados aritméticos (Categorías Semánticas y Relaciones Aditivas), de los libros de texto pertenecientes a este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

CATEGORÍAS SEMÁNTICAS:

·      80 de los enunciados aritméticos analizados, corresponden a la categoría de cambio, encontrándose tipos de problemas de cambio como: el tipo 1 con 35 problemas, el tipo 2 con 36 problemas, el tipo 3 con 2 problemas, el tipo 4 con 3 problemas y el tipo 5 con 3 problemas.

·      70 de los enunciados aritméticos revisados, concuerdan con la categoría de combinación; con 38 problemas para el tipo 1, y 31 problemas para el tipo 2.

·      19 de los enunciados aritméticos se adecuan a la categoría de comparación, encontrándose 15 problemas del tipo 1 y 4 problemas tipo 2.

·      No se hallaron enunciados aritméticos correspondientes a la categoría de igualación.

Cuadro # 21: Comparación de categorías semánticas:

TIPO		CAMBIO	COMBINACIÓN	COMPARACIÓN	IGUALACIÓN
1		36	38	15	-
2		36	32	4	-
3		2	-	-	-
4	3		-	-	-
5	3		-	-	-
6	-		-	-	-

La mayor cantidad de problemas se ubica en la categoría de combinación tipo 1, cambio tipo 1 y 2; Se considera un poco más los problemas de tipo comparativo, más no presenta problemas de tipo igualación. Es uno de los grupos que más presenta enunciados aritméticos en los libros de textos. La relación de este grupo es muy semejante a los grupos anteriores, con la diferencia que considera en mayor proporción problemas de combinación tipo 2, y otros tipos de problemas de cambio, como el tipo 3, 4 y 5.

A pesar de la gran cantidad de problemas que presenta, es notable la escasa variedad de enunciados expuestos en este grupo. Lo que indica que los docentes que emplean este material para la enseñanza de la matemática les presentan a los estudiantes una variedad restringida de problemas. Esto puede colocar a estos estudiantes en desventaja ante situaciones nuevas que contemplen categorías o tipos no estudiados.

SITUACIONES DE PRODUCCIÓN:

En total, se analizaron 274 enunciados aritméticos, de los libros de texto de este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

·      274 de los enunciados aritméticos, proponen situaciones de producción algorítmicas

No se hallaron enunciados aritméticos que propongan, situaciones de producción, significativas, de formalización ni de interpretación. Es notable el gran énfasis que se hace en los problemas aritméticos, es el único grupo de textos que presenta la mayor cantidad de problemas significativos.

Los docentes que usan este material para su proceso de enseñanza enfatizan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, obviando las otras situación es de producción que ampliarían la formación matemática de los estudiantes.

En este grupo es notable la gran cantidad de problemas presentados, por lo que podemos deducir que existe la creencia que a mayor cantidad de problemas, o sea a través de la ejercitación, los niños tendrán más competencia en la resolución de problemas. Sin embargo como en el caso aditivo, el sesgo es el mismo: mayor predominio de problemas tipo 1 y 2, y de combinación tipo 1, dejando de lado la diversidad de tipos. En cuanto a las categorías de relaciones aditivas y multiplicativas se nota mayor diversidad.

·      GRUPO #6:

En total, se analizaron 57 enunciados aritméticos (Categorías Semánticas y Relaciones Aditivas), de los libros pertenecientes a este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

CATEGORÍAS SEMÁNTICAS:

·      37 de los enunciados aritméticos analizados en las guías, corresponden a la categoría de cambio, encontrándose solo tres tipos de problemas de cambio: el tipo 1, 2, y 4, con 10, 21 y 6 problemas respectivamente.

·      18 de los enunciados aritméticos revisados, concuerdan con la categoría de combinación; con 11 problemas para el tipo 1, y 7 problemas para el tipo 2.

·      2 de los enunciados aritméticos se adecuan a la categoría de comparación, encontrándose 1 problema del tipo 1, y 1 del tipo 2.

·      No se hallaron enunciados aritméticos correspondientes a la categoría de igualación.

Cuadro # 24: Comparación de categorías semánticas:

TIPO	CAMBIO	COMBINACIÓN	COMPARACIÓN	IGUALACIÓN
1	10	11	1	-
2	21	7	1	-
3	-	-	-	-
4	6	-	-	-
5	-	-	-	-
6	-	-	-	-

Resalta el predominio de problemas pertenecientes la categoría de cambio tipo 2 y 1, seguido de combinación tipo 1 y en pequeña proporción combinación tipo 2. Este caso es muy similar a los primeros cuatro grupos.

Es notable la poca variedad de enunciados expuestos en este grupo. Lo que indica que los docentes que usan este material para la enseñanza de la matemática les proponen a los estudiantes una variedad restringida de problemas. Esto puede colocar a estos estudiantes en desventaja ante situaciones nuevas que contemplen categorías o tipos no estudiados.

SITUACIONES DE PRODUCCIÓN:

En total, se analizaron 103 enunciados aritméticos, de los libros de este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

·      103 de los enunciados aritméticos, proponen situaciones de producción algorítmicas.

No se hallaron enunciados aritméticos que propongan, situaciones de producción significativas, de formalización ni de interpretación.

Es evidente el gran énfasis que se hace en los problemas aritméticos o sea en aquellos en donde la situación es clara, así como el procedimiento.

Los docentes que emplean este material para su proceso de enseñanza destacan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, soslayando las otras situación es de producción que ampliarían la formación matemática de los educandos.

GRUPO #7:

En total, se analizaron 122 enunciados aritméticos (Categorías Semánticas y Relaciones Aditivas), de los libros pertenecientes a este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

CATEGORÍAS SEMÁNTICAS:

·      44 de los enunciados aritméticos analizados, corresponden a la categoría de cambio, encontrándose tipos de problemas de cambio: el tipo 1 con 18 problemas, el tipo 2 con 23 problemas, el tipo 4 con 1 problema al igual que el tipo 5 y 6.

·      35 de los enunciados aritméticos revisados, concuerdan con la categoría de combinación; con 23 problemas para el tipo 1, y 12 para el tipo 2.

·      36 de los enunciados aritméticos se adecuan a la categoría de comparación, encontrándose 11 problemas del tipo 1, 9 problemas tipo 2, 12 problemas tipo 3 y el tipo 4 con 4 problemas.

·      7 de los enunciados aritméticos corresponden a la categoría de igualación, hallándose 2 problemas del tipo 1 y del tipo 2 con 5 problemas.

Cuadro # 27: Comparación de categorías semánticas:

TIPO	CAMBIO	COMBINACIÓN	COMPARACIÓN	IGUALACIÓN
1	18	23	11	2
2	23	12	9	5
3	-	-	12	-
4	1	-	4	-
5	1	-	-	-
6	1	-	-	-

Predomina en forma similar combinación tipo 1 y cambio tipo 2, seguida de cambio tipo 1, combinación tipo 2, comparación tipo 3 y comparación tipo1. Es el grupo qué presenta mayor diversidad de tipos de problemas en comparación con otros grupos. Presenta problemas no tratados en otros grupos de textos y libros como el de igualación tipo 1 y cambio tipo 6.

Es considerable la poca variedad de enunciados expuestos en este grupo. Lo que indica que los docentes que usan este material para la enseñanza de la matemática les exponen a los estudiantes una variedad delimitada de problemas. Esto puede colocar a estos estudiantes en desventaja ante situaciones nuevas que contemplen categorías o tipos no estudiados.

SITUACIONES DE PRODUCCIÓN:

En total, se analizaron 183 enunciados aritméticos, de los libros de este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

·      183 de los enunciados aritméticos, proponen situaciones de producción algorítmicas.

No se hallaron enunciados aritméticos que propongan, situaciones de producción significativas, de formalización ni de interpretación.

Es notable como en la mayoría de lo que hemos encontrado en otros grupos el gran énfasis que se hace en los problemas aritméticos, en aquellos en donde la situación es clara, así como el procedimiento.

Los docentes que usan este material para su proceso de enseñanza acentúan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, obviando las otras situación es de producción que extenderían la formación matemática de los estudiantes.

GRUPO #8:

En total, se analizaron 92 enunciados aritméticos (Categorías Semánticas y Relaciones Aditivas), de los libros de texto pertenecientes a este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

CATEGORÍAS SEMÁNTICAS:

·      56 de los enunciados aritméticos analizados en este grupo, corresponden a la categoría de cambio, encontrándose tipos de problemas de cambio: el tipo 1, 2, 3 y 4, con 18, 33, 3 y 2 respectivamente.

·      31 de los enunciados aritméticos revisados, concuerdan con la categoría de combinación; con 25 problemas para el tipo 1, y 6 problemas para el tipo 2.

·      5 de los enunciados aritméticos se adecuan a la categoría de comparación, encontrándose problemas del tipo 1, 2, 3, y 4 con 2, 1, 1, 1, respectivamente.

·      No se hallaron enunciados aritméticos pertenecientes a la categoría de igualación.

Cuadro # 30: Comparación de categorías semánticas:

TIPO		CAMBIO	COMBINACIÓN	COMPARACIÓN	IGUALACIÓN
1		18	25	2	-
2		33	6	1	-
3		3	-	1	-
4	2		-	1	-
5	-		-	-	-
6	-		-	-	-

Los problemas se concentran en cambio tipo 2 y tipo 1, seguido de combinación tipo 1, además de otros tipos. Este grupo presenta una variedad semejante al grupo anterior, pues es uno de los que más consideran problemas de la categoría de comparación.

La situación es muy similar a las anteriores, considerable escasa variedad de enunciados expuestos en el grupo. Lo que indica que los docentes que usan este material para la enseñanza de la matemática le proponen a los estudiantes una variedad restringida de problemas. Continuamos subrayando que esto puede colocar a los estudiantes en menoscabo ante situaciones nuevas que contemplen categorías o tipos no estudiados.

SITUACIONES DE PRODUCCIÓN:

En total, se analizaron 171 enunciados aritméticos, de los libros de este grupo, los mismos arrojaron los siguientes resultados:

·      171 de los enunciados aritméticos, proponen situaciones de producción algorítmicas.

No se hallaron enunciados aritméticos que propongan, situaciones de producción, significativas, de formalización ni de interpretación.

Los docentes que emplean este material para su proceso de enseñanza acentúan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, obviando las otras situación es de producción que acrecentarían la formación matemática de los estudiantes.

Presentación de resultados globales por grupos

 A continuación hacemos la presentación de los resultados totales por grupos y a su vez por diferentes categorías:

Cuadro # 33: Comparación de los diferentes tipos de Categorías Semánticas.

GRUPOS	Cambio	Combinación	Comparación	Igualación	Totales
1.	26	20	7	3	56
2.	37	17	12	3	69
3.	30	8	1	-	39
4.	55	11	2	-	68
5.	80	70	19	-	169
6.	37	18	2	-	57
7.	44	35	36	7	122
8.	56	31	5	-	92
Promedio	46	26	11

En estos datos nos percatamos como en los distintos grupos el resultado es muy similar, predominan los enunciados aritméticos con planteamientos tipo cambio y combinación, salvo en el grupo 3. En todos los casos la relación es la misma, mayor predominio de enunciados aritméticos de cambio, seguido de los de combinación, a su vez un pequeño número de enunciados aritméticos de comparación y la poca o nula presencia de enunciados aritméticos tipo igualación. Los grupos 5 y 7 se destacan por la cantidad de problemas que presentan en comparación con otros grupos, así también resalta el grupo Nº 3 por la poca cantidad de problemas expuestos, podemos deducir que existe la creencia que a mayor cantidad de problemas, o sea a través de la ejercitación, los niños tendrán más competencia en la resolución de problemas. Sin embargo, se sigue obviando la diversidad de tipos y categorías.

Así mismo, es considerable la poca variedad de enunciados hallados. Lo que indica que los docentes que aplican estos materiales para la enseñanza de la matemática les plantean a los estudiantes una variedad restringida de problemas. Esto puede situar a estos estudiantes en desventaja ante situaciones nuevas que contemplen categorías o tipos no estudiados. Los autores estudiados destacan la importancia de exponer al estudiante ante diversas categorías en los enunciados aritméticos, para una formación integral, que contemple el desarrollo de competencias tales como cambiar, combinar, comparar e igualar.

Cuadro # 36: Comparación de los diferentes tipos de situaciones de producción.

GRUPOS	Algorítmica	Significativa	interpretación	formalización	Totales
1	91	-	-	-	91
2	125	-	-	-	125
3	66	-	-	-	66
4	113	-	-	-	113
5	274	-	-	-	274
6	103	-	-	-	103
7	183	-	-	-	183
8	171	-	-	-	171
promedio	140	-		-	-

Las situaciones de producción evidentemente predominantes son las algorítmicas; la presentación de sólo este tipo de situaciones promueve el desarrollo de habilidades asociadas a la comprensión instrumental, la cual, se trata de realizar un procedimiento paso a paso, entendiendo lo que hay que hacer para conseguir una respuesta.

De nuevo comentamos que los docentes que usan este material para su proceso de enseñanza resaltan el aprendizaje de procedimientos y algoritmos, obviando las otras situaciones de producción, que amplían la formación matemática de los estudiantes.

CONCLUSIONES

·      En todas las escuelas visitadas tanto oficiales como privadas, los docentes utilizan como materiales escritos para la enseñanza de las operaciones aritméticas y sistemas numéricos, los libros de texto, con excepción de un colegio privado en donde los docentes elaboran guías de estudios y diseñan los enunciados aritméticos, por tanto podemos concluir que el material escrito que utilizan los docentes para la enseñanza de las operaciones aritméticas y sistemas numéricos de 1° a 6° son los libros de textos.

·      Es de suma importancia los estudios realizados por los autores tratados, y sus respectivas clasificaciones tales como:

-       Categorías semánticas: cambio, combinación, comparación e igualación.

Su importancia descansa sustancialmente en que se basan en lo que el alumno requiere que haga y presenta distintas maneras de mostrar una información a través de un problema de enunciado verbal, promoviendo que el trabajar con el tema de la resolución de problemas sea un tema desafiante e interesante no solo para el estudiante sino también para el docente que diseña o prepara una actividad de aprendizaje, pues promueve la creatividad y diversidad a nuestro entender, así mismo permite qué el estudiante se mueva en distintos niveles de dificultad en la resolución de problemas.

Categorías Semánticas:

·      La mayoría de los enunciados aritméticos analizados plantean sólo situaciones de cambio y combinación en detrimento de presentar situaciones que impliquen el desarrollo en los alumnos de habilidades asociadas a la de comparación e igualación en la resolución de problemas. Sin embargo, aun dentro de las categorías de cambio y combinación se hace de lado otros tipos de cambio, por ejemplo aquellos problemas donde la incógnita o solución se halla en la situación inicial; en el caso de la combinación casi no se considera el tipo 2, que consiste en averiguar una de las partes que forman el todo. El 71% de los problemas se haya entre cambio tipo 1 y tipo 2, y combinación tipo 1 solamente. Esto conlleva a que los niños sólo se desempeñen de forma eficiente en muy determinados tipo de problemas, simplemente por ejemplo en el caso de las categorías semánticas en tres tipo, obviando 17 formas diferentes de presentar una información, una amplia gama de posibilidades para que el alumno haga en una actividad de aprendizaje.

Situaciones de Producción:

·      En cuanto a las situaciones de producción planteadas en los enunciados aritméticos resaltan solo los de tipo algorítmico, evidenciándose el énfasis dado a la resolución de algoritmos, centrando más el interés en el cálculo del problema que en la comprensión de los mismos. También es posible que la ausencia de otras situaciones se deba al desconocimiento por parte de los autores de libros de textos, de esas situaciones.

·      En algunos casos observados, en los primeros grados se hace más énfasis en diferentes tipos de problemas, pero luego esto se obvia en pro de exponer a los niños más al aumento de dígitos al resolver problemas en detrimento de la diversidad en su planteamiento. Seria interesante considerar ambas actividades, diferentes tipos de problemas e ir aumentando los dígitos del problema para generar mayor dificultad.

·      Muchos de los problemas no cuidan la concordancia entre la realidad y lo solicitado en el problema, por ejemplo, hay un problema que dice lo siguiente: “Tengo 7 billetes de Bs. 50, ¿cuánto dinero tengo?, ¿cuánto dinero me queda si gasto Bs. 1.780?.” Entonces si reflexionamos acerca de la información dada en el problema obtenemos lo siguiente, si tengo 7 billetes de Bs. 50 tengo en dinero 350 en total, ¿cómo voy a gastar 1780 si tengo sólo 350 bolívares?. Sería interesante preguntarle al alumno si es suficiente para gastarlo en productos que rebasan esa cifra.

·      Muchos de los problemas hallados en las guías elaboradas por los docentes eran copias fieles de algunos problemas propuestas en los libros de textos.

·      A la luz de las categorías estudiadas como son Carpenter y Moser (1 982), y las categorías de situaciones de producción de Alson (2 000), podemos concluir afirmando qué los libros de textos y guías elaboradas por los docentes no son suficientes; presentan deficiencias para ser trabajadas como materiales escritos para la enseñanza de las operaciones aritméticas, ya que de acuerdo a la información obtenida en la investigación, por lo general los docentes se remiten sólo a este tipo de materiales, esto conlleva a capacitar a los jóvenes sólo a la resolución de problemas qué promuevan el desarrollo de habilidades asociadas a combinar y cambiar, a desarrollar la noción de transformaciones y medidas solo el caso de combinar conjuntos o de la actuación de un cambio sobre un conjunto, ignorando por completo la comparación entre estados relativos y de una transformación sobre un estado relativo; se privilegia el tipo de problemas algorítmicos,

·      Estas clasificaciones nos permiten ver las deficiencias de los autores de libros de texto y de guías al diseñar enunciados aritméticos y a su vez destacar la importante y valiosa aportación de estas clasificaciones, para que sirva de guía en la elaboración de materiales escritos, específicamente para el diseño enunciados aritméticos, tanto para las editoriales como para los docentes. Los docentes podemos hacer uso de esta clasificación, como un recurso para el diseño y planificación de las actividades de aprendizaje, y además complementarlo con actividades concretas que diluciden el enunciado verbal.

·      El aporte a las competencias matemáticas del estudiante es limitado pues solo enfatiza habilidades asociadas a cambiar, combinar, a la resolución de algoritmos en forma instrumental.

Bibliografía

Alson, P. (2 000). Elementos para una teoría de la significación en didácticas de las matemáticas, (Tesis para obtener el grado de Doctor en la especialidad de Didáctica de las Matemáticas).No publicado, Universidad de Bordeaux, Francia.

Bruno, A. (2 001). Algunas dificultades en los problemas aditivos. Suma, (37), 243-253.

Carpenter,T. y Moser, M. (1 982), en Lesh, R y Landau, M.(Eds). Acquisition of mathematical concepts and development. New York: Academic Press. [En línea]. Disponible: http://www.uhu.es/luis.contreras/temas_docentes/adición-sustracción.htm. consulta: 10/12/2 003.

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González, A. y Jiménez, M. (2 003). Los problemas de adición y sustracción con diferentes estructuras semánticas en la primera etapa de educación básica. (Tesis de grado de licenciatura),No publicado. Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Martinez, C., et all. (1 992). Enfoques de investigación en problemas verbales aritméticos aditivos. Enseñanza de las ciencias, 10(3), 243-253.

Moll, L. (1 993). Vygotsky y la educación: connotaciones y aplicaciones de la psicología socio histórica en la educación. Buenos Aires: Aique Grupo Editor.

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Libros, Enciclopedias y guías de Matemática de 1º a 6º grado revisadas:

Grupo	Materiales
1	Guías elaboradas por los docentes del colegio “La Salle de T. H.” Guía 1 primer grado, Guía 2 segundo grado, Guía 3 tercer grado, Guía 4 cuarto grado, Guía 5 quinto grado y Guía 6 sexto grado
2	Editorial Santillana Libro 1 Matemática primer grado, Libro 2 Matemática segundo grado, Libro 3 Matemática tercer grado, Libro 4 Matemática cuarto grado, Libro 5 Matemática quinto grado y Libro 6 Matemática sexto grado Enciclopedia 2 Nueva Guía Caracol segundo grado y Enciclopedia 5 Nueva Guía Caracol quinto grado
3	Editorial Panapo de Venezuela Libro 1 Aprendo Matemática primer grado, Libro 2 Aprendo Matemática segundo grado, Libro 3 Aprendo Matemática tercer grado, Libro 4 Aprendo Matemática cuarto grado y Libro 5 Aprendo Matemática quinto grado
4	Editorial Panapo de Venezuela Libro Guía 1 Mi Guía éxito de Matemática primer grado, Libro Guía 2 Mi Guía éxito de Matemática segundo grado, Libro Guía 3 Mi Guía éxito de Matemática tercer grado, Libro Guía 4 Mi Guía éxito de Matemática cuarto grado, Libro Guía 5 Mi Guía éxito de Matemática quinto grado y Libro Guía 6 Mi Guía éxito de Matemática sexto grado
5	Colegial Bolivariana Libro 1 Matemática primer grado, Libro 2 Matemática segundo grado, Libro 3 Matemática tercer grado, Libro 4 Matemática cuarto grado, Libro 5 Matemática quinto grado y Libro 6 Matemática sexto grado
6	Editorial Básica 1 Enciclopedia 1 Girasol primer grado, Enciclopedia 2 Girasol segundo grado, Enciclopedia 3 Girasol tercer grado, Enciclopedia 4 Girasol cuarto grado, Enciclopedia 5 Girasol quinto grado y Enciclopedia 6 Girasol sexto grado
7	Estudios Anaya Libro 1 Matemática primer grado, Libro 2 Matemática segundo grado, Libro 3 Matemática tercer grado, Libro 4 Matemática cuarto grado, Libro 5 Matemática quinto grado y Libro 6 Matemática sexto grado
8	Editorial Excelencia Libro 1 Barrilete primer grado, Libro 2 Barrilete segundo grado, Libro 3 Barrilete tercer grado, Libro 4 Barrilete cuarto grado, Libro 5 Barrilete quinto grado y Libro 6 Barrilete sexto grado